辅助角公式几何推证和工程实例应用

李金泰 韩焱 曹洪 张俊康

【摘要】辅助角公式被广泛运用于工程力学计算，但其几何意义却鲜为人知.因此，本文采用几何变换法推证辅助角公式，提供一种在几何意义上的理解方法.同时，举例说明辅助角公式在工程实例中的应用.

【关键词】辅助角公式;几何推证;工程实例

一、引言

辅助角公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，使用代数式可表达为：

asin x+bcos x=a2+b2sin x+arctanba （a>0），

asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab （b>0）.

虽然该公式已被写入课本，但其几何意义却鲜为人知.

本文提供一种辅助角公式的几何推证方法和在几何意义上的理解方法，以供广大学者、同行们参考.同时，举例说明辅助角公式在工程实例中的应用.

二、几何推证及意义

（一）几何推证

如图1所示，有两个相似的直角三角形△ABC，△DEF，其中A，D重合.

设∠CBA=∠FED=x，BC=a，EF=b.

则AC=BCsin x=asin x，

DE=EFcos x=bcos x.

先将△DEF以D点为中心顺时针旋转90°，再将△DEF沿FD方向平移，使F点与B点重合，得到图2.

将线段DE向右平移，使D点与A点重合，得到线段AG，再连接CE，EG，就得到新的三角形△CEG，如图3所示.

易得∠CBE=90°，所以CE=a2+b2.

又DE=AG，所以CG=AC+AG=asin x+bcos x.

由于∠CEB=arctan BCEF=arctan ab，

∠BEG=π2-x.

所以CG=asin x+bcos x=CEsin ∠CEG=a2+b2·sin （∠CEB+∠BEG）

=a2+b2sin  arctanab+π2-x

=a2+b2sin  π2-arctanba+π2-x

=a2+b2sin  π-arctanba-x

=a2+b2sin  x+arctanba，

即asin x+bcos x=a2+b2sin  （x+arctanba）.

又本证明中，BC必然大于0，所以a>0.

即可证明辅助角公式成立.

对asin x+bcos x=a2+b2cos x-arctanab（b>0）的证明亦然.

（二）几何意义

在此证明中，asin x+bcos x为一个斜边长为a的直角三角形ABC的∠ABC的对边和另外一个斜边长为b的与三角形ABC相似的直角三角形的∠DEF的邻边长度的和.该数值等于以a和b为直角边长的直角三角形的斜边长乘sin x+arctan ba，或者等于以a和b为直角边长的直角三角形的斜边长乘cos x-arctan ab.

在图3中，△ABC和△DEF是两个相似的直角三角形，其斜边长分别为a和b，∠ABC=∠DEF=x，则CG=AC+DE，EG=BD-AB，以CG和EG为直角边，可得到

另一个直角三角……