关于Weyl编序的讨论*

张全胜，徐世民

(1.青岛西海岸新区致远中学，山东 青岛 266510; 2.菏泽学院物理与电子工程学院，山东 菏泽 274015)

观点一 就经典函数xmpn来说，表示它的量子力学算符应是m个坐标算符X和n个动量算符P所有可能的排列等权重参与的平均[2,3]，即

(1)

其中Pi(m,n)表示这m个坐标算符X和n个动量算符P的第i种排列式. 譬如，一个坐标算符X和一个动量算符P，共有XP和PX两种排列，这两种排列等权重参与的平均是

(2)

又如，两个坐标算符X和两个动量算符P，共有X2P2、XP2X、XPXP、PXPX、PX2P、P2X2六种排列，这六种排列等权重参与的平均是

(3)

从(2)和(3)两式可以看出，其括号内X和P形式上是完全对称的、地位上是相同的.

若作进一步推广，那么，表示经典量xmpn+xkpl的量子力学算符应为

(4)

观点二 Weyl指出[4]，经典函数xmpn过渡到量子力学算符的规则为

(5)

从直观形式上来看，其算符排列特征与观点一有所不同、物理意义不够明确.

观点三 对于一般情况，Weyl还给出了一个积分型的对应规则[5]，可以表示为

(6)

其中，F(X,P)是量子力学中表示经典函数f(x,p)的算符，而

(7)

称为Wigner算符[6]，这一对应规则称为Weyl-Wigner量子化方案.显然，牛顿-莱布尼兹积分法则不能直接适用这类积分，因为被积函数指数上含有不对易的坐标算符和动量算符.如果无视坐标算符和动量算符的不对易性，直接地应用牛顿-莱布尼兹积分法则完成积分，则会得到

Δ(x,p)=δ(X-x)δ(P-p)

(8)

或者

Δ(x,p)=δ(P-p)δ(X-x)

(9)

这两个结果都是错误的. 由此看来，涉及算符(狄拉克称之为q数)的运算问题，都是很复杂的，它跟普通数(称之为c数)有着很大不同，必须考虑算符的次序问题.

为……