避免轨迹方程增解和漏解的策略

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

避免轨迹方程产生增解和漏解的对策主要有：全面考查所有可能出现的情况；充分挖掘题中隐含的数量关系；注意化简、消参前后方程是否同解；仔细检验特殊点是否符合题意.下面以近年高考题为例.

一、全面考查所有可能出现的情况

在求轨迹方程时，有时由于某些参数的不确定性，或者图形形状、位置关系的不确定性，需要对其进行分类讨论，全面考查所有可能出现的情况.如果分类重复或遗漏，就有可能产生增解或漏解.

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

分析建立平面直角坐标系，设出点M,A,B的坐标，通过已知条件求出点M的轨迹方程，再作出判断.

解析以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，A(-a,0)，B(a,0)(a>0).

当λ=1时，方程表示圆；当λ>0且λ≠1时，方程表示椭圆；当λ<0时，方程表示双曲线；当λ=0时，方程表示直线.

综上，方程不表示抛物线.故选D.

点评本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题、解决问题的能力以及计算能力，属于基础题.这里要对常数λ进行分类讨论，如有遗漏，就会导致解答错误.

例2(2016年全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.若ΔPQF的面积是ΔABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

分析利用△PQF和△ABF面积之间的关系，求出点N的坐标，再利用点差法求AB中点的轨迹方程.

因为S△PQF=2S△ABF，所以2|FN|=1.解得xN=1.

即N(1,0).

当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，点M与N重合，即M(1,0)，它满足y2=x-1.

综上，AB中点的轨迹方程为y2=x-1.

点评本题考查抛物线的方程……