一类具变时滞的Hopfield神经网络模型拉回吸引子的存在性

朱 双, 雷 婷

(西南交通大学 数学学院, 成都 611756)

0 引 言

目前, 关于Hopfield神经网络模型[1]动力学行为的研究已有很多结果[2-6], 关于不同格动力系统吸引子的研究也得到广泛关注. 文献[7-9]证明了二阶格动力系统吸引子的存在性及收敛性； 文献[10]考虑非线性时滞格系统, 证明了不存在解唯一性的系统所关联多值过程拉回吸引子的存在性. 本文在文献[11]的Hopfield神经网络模型中加入变时滞项, 对τ∈, 其离散方程为

其中u=(ui)i∈∈l2,μi,γi,λi,j和ζ均为大于0的正常数,n∈,ui,τ为初始值,fj是满足某些条件的非线性函数,ζ0(t)是时滞函数,g(t)=(gi(t))i∈是具有时间依赖性的序列, 并且φi∈C([-ζ,0],). 首先, 证明该方程连续非自治系统的存在性; 其次, 对非自治方程的解进行一致估计; 最后, 证明非自治方程(1)-(2)拉回吸引子的存在唯一性.

1 解的一致估计

首先, 定义

其对应的范数和内积分别为

记ut(t∈)为定义在[-ζ,0]上的函数, 其形式如下:

ut(s)=(ui,t(s))i∈=(ui(t+s))i∈=u(t+s),s∈[-ζ,0].

F(u)=-Θu+Υu+G,

其中

则方程组(1)-(2)可写成如下形式： 对∀τ∈,

为证明问题(3)-(4)拉回吸引子的存在性, 需做如下假设:

(H1)fi(0)=0,fi是全局Lipschitz连续的函数, 且具有Lipschitz常数L;

(H2) 存在大于0的常数a,b,B,d,D, 使得

(H3) 令g(t)=(gi(t))i∈, 且

由假设(H1)～(H3)可知, 算子F:l2→l2是全局Lipschitz连续的, 且具有Lipschitz常数L.

显然， 由泛函微分方程理论可证得对每个φ∈Γζ， 均存在T>0, 使得问题(3)-(4)存在唯一的局部解ut(·,τ,φ)∈C([τ,T),Γζ). 因此, 可得:

定理1如果假设(H1)～(H3)成立, 则对任意的φ∈Γζ, 存在T>0, 使得问题(3)-(4)存在唯一的解ut(·,τ,φ)∈C([τ,T),Γζ).

引理1如果假设(H1)～(H4)成立, 则对任意的τ∈,T>0,φ∈Γζ和t∈[τ,τ+T], 均存在一个正常数c=c(τ,T,φ), 使得问题(3)-(4)的解u满足‖ut(·,τ,φ)‖ζ≤c.

证明: 在空间l2中, 对方程(3)与u做内积, 当t>τ时, 得

(5)

由假设(H2), 得

(6)

(7)

将式(6)～(8)代入式(5), 有

(9)

利用Gronwall不等式, 当t>τ时, 有

(10)

由假设(H4), 易知存在正常数β和Q,……