n阶多时滞微分方程的周期解

李文金, 庞彦尼

(1. 吉林财经大学 应用数学学院, 长春 130117; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

0 引 言

时滞微分方程在生物数学、工程、经济、信息等领域应用广泛, 可用于描述动物血红细胞再生、种群生态系统、心脏起搏等现象. 目前, 关于微分方程振动理论及其应用的研究已有很多成果[1-7], 特别是关于二阶微分方程的研究已有较大进展, 但对于微分方程中含有多时滞量, 用上下解的单调迭代技巧处理其周期解的存在性和唯一性的研究文献报道较少.

考虑n阶时滞微分方程

-u(n)(t)=f(t,u(t),u(t-τ1),u(t-τ2),…,u(t-τn)),t∈

(1)

ω-周期解的存在性, 即满足方程(1)和u(t+ω)=u(t)的解, 其中f:×n+1→连续且关于t以ω为周期,τ1,τ2,…,τn为正常数. 本文利用单位算子扰动理论, 通过建立新的极大值原理, 讨论方程(1)ω-周期解的存在性和唯一性. 本文结果推广了文献[1]中二阶多时滞微分方程

-u(2)(t)=f(t,u(t),u(t-τ1),u(t-τ2),…,u(t-τn)),t∈

ω-周期解的存在性.

1 预备知识

记Cω()是以ω为周期的全体连续函数按范数构成的Banach空间. 对()是以ω为周期的m阶连续可微函数全体按范数构成的Banach空间. 记()是Cω()中的非负函数锥. 设Mn为正常数, 且

根据文献[8]中引理2.4知, 微分算子Lnu=u(n)+Mu在周期边界条件下满足极大值原理, 且有下列引理.

引理1[8]设M∈(0,Mn)为一个常数, 则n阶线性边值问题

存在唯一解Φ∈Cn[0,ω], 且对∀t∈[0,ω],Φ(t)>0.

引理2[9]设M∈(0,Mn), 则对∀h∈Cω(),n阶线性微分方程

-u(n)(t)+Mu(t)=h(t),t∈

(2)

存在唯一ω-周期解

(3)

且解算子S:Cω()()是线性全连续算子.

(4)

周期解的存在性, 其中M>0,Mi≥0.

引理3线性方程(2)的ω-周期解算子S:Cω()→Cω()具有下列性质:

1) 范数‖S‖=1/M;

证明: 1) 由S的定义可知,

即‖S‖≤1/M.

另一方面, 取h0=1, 则h0∈Cω(), ‖h0‖C=1, 且于是有

(5)

故性质1)成立.

(6)

(7)

故性质2)成立. 证毕.

证明： 由线性方程ω-周期解的表示……