对偶薛定谔方程族与导数薛定谔方程族的对应关系

郭明月 康 婷 王云波

(1. 西北大学数学学院，西安 710127; 2. 西北大学非线性科学研究中心，西安 710069)

1 引言

非线性薛定谔方程

其中γ和ρ为实参数，u(x,t)为复值函数，是光脉冲在光纤中非线性传播的基本模型，可以描述光孤子在单模光纤中的传输、超导电子在电场中的运动和等离子体中的Langnui 波等非线性波动现象.引入函数u的共轭函数v=ρ¯u，非线性薛定谔方程(1)可以表示为双哈密顿形式[1]

是相应的哈密顿守恒律.

早期，文献[2-4]中提出并系统完善了三哈密顿对偶方法.利用该方法可以由已知的双哈密顿系统构造出具有非线性色散结构，拥有非光滑孤子解的新的双哈密顿系统，称之为原孤子系统的对偶可积系统.将该方法应用到非线性薛定谔方程(1)的双哈密顿表达式上，引入一对相容的哈密顿算子

即可得到相应的对偶薛定谔系统，其双哈密顿形式为[1,2]

对偶薛定谔系统的具体形式为

如果n= ¯m，方程组(5)约化为标量形式的对偶薛定谔方程[1,5]

非线性薛定谔方程(1)可以描述非线性脉冲在光纤中的传播，在考虑非常短的脉冲输入时，就会增加一些额外的项来解释高阶作用.此时会出现一些特殊的可积方程，包括导数薛定谔方程[5,6]

其中～u(x,t)为复值函数.如果引入函数关系

则可将方程(7)写成两分量系统形式

对于一个双哈密顿系统，由其递推算子作用在种子对称上可以生成相应可积方程族.本文主要研究对偶薛定谔方程族与导数薛定谔方程族的对应关系，通过联系两……