具有Neumann边界条件的曲率方程解的估计

2021-11-30 10:28:14阿迪莱玉苏普

淮阴师范学院学报(自然科学版) 2021年4期

关键词：定义

阿迪莱·玉苏普，韩菲

(新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐 830017)

0 引言

Neumann边值问题是偏微分方程中的最重要的边值问题之一，给出解的先验估计是研究其解存在性的关键.

设Ω是Rn上的光滑有界区域，u是定义在Ω上的光滑函数，则u的图的平均曲率是

在n=1的情况下,相应的问题是曲线的曲率问题,也是微分几何和微分方程中关注的问题.

设u是定义在[0,1]上的光滑函数,则对应的曲线的曲率是

(1)

在偏微分方程中,对平均曲率流方程的研究比较广泛[1-3].对n≥2的情况,也有相关研究[4-5].与平均曲率有关的抛物方程

和

均可以描述曲面的一种演化.

2017年，唐榕[6]考虑了在Neumann边界条件下椭圆方程解的c0估计,c1估计,研究了如下方程

(2)

其中β≤3,且f(x,u)是定义在[0,1]×R上的光滑函数，得到了一类边值问题解的梯度估计,从而得到了相应的曲线曲率演化方程解的存在性定理.

受此启发,本文研究与式(1)有关的具有如下形式的一类抛物型方程

其中f(x,u,Du)是定义在[0,1]×R×Rn上的光滑函数且β≤3.

研究结果主要推广朱洁的抛物型方程中关于f只依赖于x,u时该方程解的c0估计,c1估计[7]，即抛物型方程中关于f依赖于x,u,Du时该方程解的c0估计,c1估计.对于方程(2),当β=0和β=1时,方程的解的存在性、解的估计以及渐近性均已被证明[8-9].

定理1 假设Ω=[0,1],β≤3,f是Ω×R×Rn上的光滑函数,设u(x,t)是下面方程的一个解

(3)

其中fz(x,z,p)≥-κ且κ≥0,对正常数L1,有

若t∈[0,T],则有

|ux(x,t)|≤C,

通过计算可得u和ut估计,结合定理1，易得到方程(3)的解的长时间存在性.

推论1 在定理1相同的条件下,抛物型方程

有光滑解u=u(x,t).