循环Goppa编码协作系统的性能研究∗

毛 健 仰枫帆

（南京航空航天大学电子信息工程学院 南京 211100）

1 引言

1970年戈帕（Goppa）系统地构造了一类有理分式码——Goppa码［1］。Goppa码的最主要的优点是，对某些Goppa码而言，能达到香农信道编码定理所给出的性能。由于Goppa码的良好性能，自该码提出以来，众多学者对其性质和编译码方法进行了深入的研究。特别地，由Goppa码引出的几何代数码在公开密钥系统中得到了很好的应用。因此，研究Goppa码有着非常重要的实际意义。而编码协作［2～4］作为一种新型的分集技术可以有效地对抗信号衰落，从而提高系统地误码率性能。本文主要研究循环Goppa码在协作通信系统中的应用，构造了基于循环Goppa码的编码协作［5～6］系统，为循环Goppa码的编码协作在未来无线通信系统中的应用做出了探索性的研究。通过系统仿真表明，我们构造的循环Goppa码编码协作系统的性能在AW⁃GN信道以及衰落信道中都有着不错的表现。

2 Goppa码的构造及译码

定义1：设0

定义2：设在GF（q）上码长为n的线性码C，如果码字的循环移位仍是码字，则称线性码C为循环码，即当a(x)∈C时有x∙a(x)mod(xn-1)∈C。也就是说，环R=GF（q）［x］/（xn-1）上的一个理想I=（g（x））则为一个由g（x）生成的一个循环码。

如果定义1中的Goppa码字的循环移位仍是Goppa码字，则称Г（L，G）为循环Goppa码。

文献［10］中提到，若Goppa码Г（L，G）满足以下条件：

表1 集合L的各个元素计算结果

由定义可得：

Goppa码作为GRS码的子域子码，通过为码空间转换添加简单的预处理和后处理，特定的GRS码的译码器（可能存在更优的译码算法）可以在另一个Goppa码空间中进行纠错译码。所以应用于RS码的译码算法（如欧几里得译码算法）也可以应用于使用码空间转换得到Goppa码，并且不会降低译码性能［11～13］。

Goppa码的译码步骤如下：

第一步：由接收到的码字多项式r（Z）计算校正子多项式S（Z）。如果是打孔的Goppa码则需要对S（Z）进行修正［14～15］。校正子多项式的修正就是将先前计算得到的S（Z）乘以打孔位置多项式，即

第二步：由S（Z）寻找错误位置多项式Λ(Z)和错误数值多项式Ω（Z）。

第三步：由Λ(Z)求解出它的根，找出错误位置，再与Ω（Z）一起计算错误数值大小，进而纠正接收的码字多项式中的错误。特别地，如果是二进制Goppa码，我们只需要找出错误位置即可，即可实现纠错。

3 基于Goppa码编码协作系统

通过对Goppa码以及编码协作特性的研究，我们构造如图1的基于循环Goppa码编码协作系统。在源节点处采用（n，k）Goppa码，打孔去除n-n1位得到码长为n1的码字，之后进行BPSK调制，分别广播至中继节点处和目的节点处；而在中继节点处采用相同的编码，进而获得先前打孔去除的校验位，将其调制后发送至目的节点。这样在目的节点处可以合成一个完整码长的Goppa码。

图1 基于循环Goppa码的编码协作系统

该编码协作系统工作的具体步骤如下。

1）在信源节点处，对长度为k的信息位进行Goppa码编码，生成码长为n的码字。对生成码字的校验位进行打孔，得到长为n1的码字，将该码字通过广播信道发送至目的节点和中继节点。

2）中继节点首先对接收到的码字进行译码，若译码正确，则采用与源节点相同的编码方案对译出的原始信息位进行编码，提取出码字中在第一阶段被打孔的校验位，长为n2=n-n1，可以看成码长为n2的Goppa码传送到目的节点。

3）目的节点处接收到来自S-D信道和R-D信道传输的码字，将码长为n1和n2的两路信号合并成码长为n=n1+n2，进行联合迭代译码得到原始信息。

4 目的节点的联合译码方案

由于目的节点接收到是来自源节点和中继节点的两路信号，所以我们需要将这两路信号合并成一路信号。如图2，目的节点接收到是来自源节点解调得到的序列和中继节点序列，将其合并后得到序列，之后将其送去译码器，进行欧几里得迭代译码，最终得到信息的估计序列。

图2 目的节点的联合译码

5 仿真结果分析

本文所研究的是理想的编码协作系统，即S-R信道的信噪比足够大，使得中继节点可以正确译码来自源节点的信息。在非理想情况下，中继节点可能无法正确译码，那么中继节点的再编码也是不可靠的，从而影响整个系统的性能。仿真设置为：在源节点采用（31，21）Goppa码进行编码，之后打孔4位，采用BPSK调制方式，将该码字通过广播信道发送至目的节点和中继节点，中继节点采用与源节点相同的编码方案对译出的原始信息位进行编码，提取出码字中在第一阶段被打孔的4位校验位传送到目的节点。其中设置SNRR-D=SNRS-D+1dB，分别在AWGN信道和瑞利快衰落信道下传输106帧数据。

由图3可知，在AWGN信道下，误码率在10-5时，Goppa协作系统比非协作系统有着了1.8dB的性能增益。由图4可知，在快衰落信道下，误码率在10-5时，Goppa协作系统比非协作系统有2dB左右的性能增益。

图3 （31，21）Goppa码的编码协作系统在AWGN信道下的误码率曲线

图4 （31，21）Goppa码的编码协作系统在快衰落信道下的误码率曲线

6 结语

在对Goppa码的构造原理以及译码算法的研究过程中，提出了基于循环Goppa码的编码协作系统方案。该方案巧妙地将Goppa码与编码协作系统相结合，并且仿真结果表明，在AWGN信道和瑞利快衰落信道下，采用Goppa码的编码协作系统不仅可以降低系统误码率，而且提升了系统的传输效率，相较于非协作的系统，系统性能都有了不同程度的提升。