魅力无限的子集与真子集

■史培喜

集合的子集与真子集的考试题型较多,主要分为三类:判断集合间的关系;求一个集合的子集与真子集的个数;利用两个集合间的关系求参数的值或取值范围。下面举例分析,供大家学习与提高。

一、集合间关系的判断

判断集合关系的三种方法:观察法,一一列举进行观察判断;元素特征法,先确定集合的元素是什么,再利用集合元素的特征进行判断;数形结合法,利用数轴或Venn图进行判断。

例1已知集合M={x∈Z|-

A.P={-3,0,1}

B.Q={-1,0,1,2}

C.R={y∈Z|-π

D.S={x∈N||x|≤}

解:易得集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合S={0,1}。不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合R中的元素-3∉M,而集合S={0,1}中的元素都在集合M中,所以S⊆M。应选D。

例2指出下列各对集合之间的关系。

(1)集合A={x|x是等边三角形},集合B={x|x是等腰三角形}。

(2)集合M=,集合N=。

(3)集合A={x|x2-x=0},集合B={x∈R|x2+1=0}。

解:(1)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB。

(2)对于集合M,其组成元素是,分子部分表示所有的整数;对于集合N,其组成元素是,分子部分表示所有的奇数。由真子集的概念知,NM。

(3)因为A={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=∅,所以BA。

二、判断集合的子集与真子集的个数

求解有限集合的子集问题要注意两点:合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出;不要忽视两个特殊集合,即空集和集合本身。一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个。

例3集合P={3,4,5},Q={6,7},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为( )。

A.7 B.12

C.32 D.64

解:由新定义可得集合P*Q中的元素为(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),共6个,所以P*Q的子集个数为26=64。应选D。

例4设集合B是集合An={1,2,3,…,3n-2,3n-1,3n},n∈N*的子集。记B中所有元素的和为S(规定:B为空集时,S=0)。若S为3的整数倍,则称B为An的“和谐子集”。……