牛顿-矩阵多分裂多参数TOR 迭代法弱收敛性分析

张理涛，张一帆

（郑州航空工业管理学院数学学院，河南 郑州 450046）

0 引言

考虑光滑非线性方程组［1-2］

其中，F是非线性映像，Ω 是RN中任一有界集，x是Ω的一个向量。对于式（1）的求解，许多学者做了大量研究工作，得到了一系列有效的计算方法［1-8］。但求解非线性方程组的迭代方法大多由求解线性方程组的迭代方法衍生而来。对于线性方程组的求解，LEARY 等［9］提出了基于矩阵多分裂的并行多分裂迭代法。此后开展了许多相关研究并给出了收敛定理，如文献［10-12］研究了系数矩阵的（局部松弛）SOR、AOR 和TOR 方法。文献［13］对SOR、AOR和JOR 松弛方法的收敛速度和发散速度进行了比较。文献［14］分析了不同权矩阵的收敛性。文献［15］研究了系数矩阵的USAOR 迭代法。文献［16］将该方法推广至非线性方程组，构造并研究了牛顿-并行多分裂方法。文献［17］设计并研究了牛顿-全局松弛矩阵多分裂迭代法。本文将求解线性方程组的松弛矩阵多分裂迭代法推广至求解非线性方程组，研究了牛顿-全局松弛非定常多分裂多参数迭代法，建立了局部收敛定理，估计了收敛速度。

求解式（1）的牛顿法为

其牛顿方程组为

则式（3）可表示为

式（1）的相关知识可参阅文献［17-18］。若对A(xk)x=b(xk)应用松弛矩阵多分裂迭代法，则可得到牛顿-全局松弛矩阵多分裂迭代法（NGRM 迭代法）。

算法1矩阵多分裂多参数迭代法

任取初始近似x(0)∈RN，对m=0，1，…，重复步骤1和步骤2，直至收敛。

步骤1对t=1，2，…，α，(并行）求解yt：

步骤2计算

注1yt表示第t台处理机得到的解，Mt表示第t台处理机对应于A(xk)的分裂，Et表示第t台处理机的加权矩阵。……