(2+1)维Sawada-Kotera方程的黎曼theta函数周期波解及渐近性质

房春梅

(集宁师范学院 数学与统计学院，内蒙古 乌兰察布 012000)

非线性微分方程在非线性科学中的作用越来越明显,特别是解析解的构造.目前,在几代专家的不断努力下,发展了大量构造微分方程解析解的有效方法[1-5].Nakamura利用黎曼 theta函数的拟周期性和Hirota直接法提出了一种求非线性微分方程拟周期波解的简单方法[6].范恩贵和田守富等人将此方法进行改进并求得了很多微分方程的周期波解[7-10].此外,近期人们得到了(3+1)维爆破孤子方程[11]、Boussinesq方程[12]、耦合双线性方程[13]、Toda-型方程[14]等的N周期波解.

(2+1)维Sawada-Kotera方程(SK)方程[15]为如下所示:

它是著名的刘维尔场论的守恒流方程,广泛应用于亚临界弦,二维量子引力规范场论,共形场论和非线性科学等物理分支.对于SK方程,文献[16]利用τ函数获得了贝克隆变换和Lax对,其行波解[17]、呼吸波解[18]、lump解和共振条状孤子解[19]、Painleve性质[20]、新的双线性贝克隆变换[21]、多孤子解[22]、初边值问题与darboux-levi型变换[23]以及一些其它孤波解被成功地获得[24-27].但其黎曼theta函数周期波解还没有得到.该文构造了SK方程的双线性表示,孤子解和黎曼theta函数周期波解,并给出了周期波解和孤子解之间的关系.

1 (2+1)维SK方程的双线性形式和孤子解

这一节,构造了SK方程的双线性形式和孤子解,下面简要介绍如何利用Bell多项式得到方程(1)的双线性表示式.为了找到式(1)的双线性表示式,引入以下变换:

u=c(t)qxx,

(2)

其中c(t)是一个待定函数.将变换式(2)代入式(1),得到：

对式(3)关于x积分一次变成：

5c(t)2q2xq4x-5c(t)2q2xqx,y+5c(t)q2y-δ=0,

(4)

其中δ是一个积分常数.假设c(t)=1则方程(4)变……