生灭过程的两类拟平稳分布

朱依霞

(湖南财政经济学院 数学与统计学院，长沙 410205)

近年来，马尔可夫过程的拟平稳分布越来越受到重视[1-4].拟平稳分布常常被用来分析随机系统的长期行为，这些系统在某种意义上最终会停止，但系统在停止之前可能会出现一个平稳期.马尔可夫过程的拟平稳分布的研究最早可以追溯到俄罗斯数学家Yaglom的工作，他首次提出了Galton-Watson分支过程中的于次临界情况下总是存在极限条件分布[5].后来Darroch等[6-7]、Flaspohler[8]以及Ferrari[9]等为推动拟平稳分布理论的发展做出突出贡献.Darroch等[6-7]研究了有限状态空间的马氏链的拟平稳分布；Flaspohler[8]研究了初始分布为单点集时连续时间的马氏链的拟平稳分布；Ferrari等[9]创新性地利用更新方法研究了连续时间的马尔可夫过程的拟平稳分布存在的充要条件.拟平稳分布还不断出现在流行病、生态学、可靠性理论、遗传学等背景中，也一定程度推动了拟平稳分布理论的发展.生灭过程，是一类特殊的但又重要的马尔可夫过程.生灭过程的拟平稳分布已研究得相当广泛和深入[2,10-11].但生灭过程的拟平稳分布仍然存在一些待解决问题，这在毛永华[3]中有阐述.

其中Xj(t)为马尔可夫过程X在时间t前停留状态j的时间，M={mi,i∈C}为初始概率分布.对于第1类一般形式的拟平稳分布，生灭过程存在唯一的拟平稳分布当且仅当过程为流入边界，同时这个唯一的拟平稳分布吸引所有的初始分布[10-11].本文研究生灭过程的另两类拟平稳分布的存在性、唯一性和吸引域……