试析中学平面几何与解析几何、立体几何的内在联系

李启玲

【摘 要】本文主要分析了中学数学中平面几何与解析几何、立体几何之间的内在关联，凸显了平面几何教学的重要性。

【关键词】平面几何;解析几何;立体几何;关联

随着我国教育部制定的义务教育《数学课程标准》、《普通高中数学课程标准》（2017年版）的頒布与实施，我们可以看到对中学数学教学内容、教学模式、教学目标都进行了修正，对教师综合素质的要求进一步提高。在目前仍然以教师为主导的课堂教学活动中，教师教学能力的重要性不言而喻。如何提高教师的综合素质？如何让教师不仅仅是讲好一堂课、一门课，而是对教学内容有着更为深刻的认识理解，并在整个教学活动中游刃有余？这就需要教师站在更高处，宏观地看待整个中学数学的理论体系，并且能够深刻的认识到各部分内容的内在联系，从而形成网状的知识体系。

一、平面几何与解析几何的内在联系

中学数学中关于几何部分的内容分为平面几何、解析几何、立体几何。我们知道平面几何部分的内容主要来源于《几何原本》最基础的部分，旨在通过让学生认识点、线、面等图形，并对其性质特征进行刻画。众所周知，由于《几何原本》理论体系建立在五个公设基础之上，由于这五个公设的描述、刻画欠缺一定的严密性，就造成了平面几何中某些知识欠缺严密性。例如，教材中定义两个图形全等，是通过平移其中一个图形使得两个图形重合。实际上这种定义要在平移时物体做刚体运动不产生形变下才能做到。究其原因是因为图形的位置问题造成了这一定义的不严密性。但是如果在解析几何的观点下，每一个点都是唯一的，从而由点构成的几何图形也是唯一的，那么在解析几何下如何定义两个图形全等呢？我们可以借助函数来解决这一问题：图形平移与旋转来刻画。由于初中阶段学生对函数知识认识不足，造成了我们无法用解析几何中更严密的理论来刻画图形的全等性，而借助图形的平移更具直观性，也更有利于学生直观想象能力的培养。平面几何中关于图形的相似性，如果用拓扑学中的同胚来刻画也更为准确，即由一个图形能连续形变到另一个图形。但是同胚中所包含的情形要远比相似更为复杂，任意一条封闭曲线与任意一个三角形是同胚的，但与三角形相似的图形只能是三角形。另外，如果从拓扑的角度，把同胚的集合都看作同一个集合，那么所有相互相似的三角形就只有一个，使得我们需要研究的对象大大减少。

为什么关于三角形的性质特点的讨论占据了平面几何的大部分内容呢？首先，三角形是由直线段围成的所有封闭图形中最为简单的图形。其次，对三角形的研究既涉及到了线段长度的问题，又涉及到了角度的问题（对应于解析几何中点的极坐标表示），并且两者相互关联。最后我们可以借助三角形的性质讨论由直线段围成的其他几何图形的性质。我们知道，三角形有两大构成要素：三条边、三个角。在研究讨论三角形的基本性质时，必须要思考三个问题：第一，满足什么关系的三条边才能构成一个三角形？第二，三角形的三个角应满足什么条件？第三，边与角之间有什么关系？

首先我们知道三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。如果设三角形ABC的边长分别为a、b、c，如图所示：

则上述命题可以表示为：a-b∠B，则a>b。这三个命题为三角形的边角性质进行了最基本的刻画。从数学的角度，我们可以看出第三个命题的刻画最为准确，而对其他两个命题我们用到的是一个直观但是较为粗糙的描述。如何使这两个命题如同第三个命题一样准确呢？这就需要在特殊情况下来讨论。例如对直角三角形ABC，如图所示：

所以a-bA >B，则有sinC > sinA >sinB，并且a=c·sinA/sinC，b=c·sinB/sinC，同时使得三角的关系更为准确（同样也可以讨论其他类型的三角形）。

在讨论三角形基本性质的基础上，可以借助三角形的这些性质对其他多边形的性质进行研究。例如通过将多边形分割成多个三角形，讨论多边形边与边、边与角的关系：多边形的内角和、面积的计算方法等问题。我们一起来看看下面这道高考题。

二、平面几何与立体几何的内在联系

在新课标中，立体几何的教学目的主要是培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力，其教学内容主要包括空间中点、直线、平面、立体的位置关系及各自的基本性质，其知识点的教学方法处处都建立在平面几何的基础之上。

在立体几何的教学活动中，几乎所有涉及到点、线、面之间的位置关系都处理成平面几何中点、线之间的关系。例如为了解决点到直线的距离问题，我们首先将点和直线放到同一个平面上，将问题转化为平面上点到直线的距离。在解决异面直线的位置关系时，通过固定其中一条直线，平行移动另外一条直线，使得两条直线共面，从而确定两条直线的夹角。在处理线面、面面夹角的问题时，我们也是先将问题转化为共面的线线夹角的问题进行讨论。这与我们处理高维空间的问题类似，将高维空间的问题转化为低维空间的问题进行处理，借助已有的工具解决新的问题。在此以浙江省2020高考试题为例分析如何将立体几何的问题转化为平面几何的问题进行处理。

三、结束语

平面几何在数学及其数学教育中的重要性不言而喻，是数学的出发点，是数学这棵参天大树的萌芽。在我们的日常生活中无处不在，长方形的课本、黑板，圆形的车轮、钟面、花台、各种水果，三角形的支架，诸如此类。课标要求通过平面几何的学习，培养学生的直观想象能力、逻辑思维能力。如何在数学教学中讲好平面几何，不仅需要老师们对教学内容熟悉，更需要老师们对几何（包括平面几何、立体几何、解析几何，甚至非欧几何）之间的关系有着较为全面及深刻的认识，拓展教师的知识面，加深教师对知识理解，才能提高教学质量，实现教学目标。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.《数学课程标准》（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.

[2]中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准》（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[3]义务教育教科书.《数学》（八年级）[M].人民教育出版社，2014.

[4]普通高中教科书.《数学》（必修第一册）[M].人民教育出版社，2019.

[5]普通高中教科书.《数学》（必修第二册）[M].人民教育出版社，2019.