三门问题的概率动态认知逻辑分析

李章吕 潘易欣

1 引言

三门问题（Monty Hall problem）源于美国的一档娱乐节目。该档节目设置了A,B,C三扇门，其中一扇门后有一辆汽车，另外两扇门后各有一头羊。玩家若选中后面有车的那扇门即可获得该汽车。游戏最开始让玩家先选一扇门，然后在尚未打开这扇门的情况下，由主持人打开另外两扇门后有羊的一扇（若两扇门后都是羊则任意打开一扇），让玩家看到门后的羊，并给玩家一次换门的机会。问题是：换门是否会增加玩家赢得汽车的概率？

从直观上看，似乎玩家选择的那扇门后有车的概率和主持人未打开的那扇门后有车的概率都是1/2。Krauss 和Wang 的实验也表明，只有29% 的人选择换门，且即便在换门的这群人里也很少有人觉知到换门赢得汽车的概率大于不换门（[10]）。然而，Gillman 等人的研究表明，在主持人打开那扇没有车的门后，换门赢得汽车的概率更大。（[6,5,12,8]）这是一个非常反直观的结果，引发了旷日持久的讨论，不仅数学爱好者关注这个问题，心理学、经济学、计算机科学等领域的学者也对其进行了研究：实验心理学家通过设计实验来研究“害怕后悔”“错误表征”等心理因素对玩家的影响，进而解释为什么有些玩家会选择不换门（[14]），但没有给出具体方案来比较换门与不换门赢得汽车的概率；经济学家基于玩家对主持人动机的不信任来研究玩家与主持人之间的博弈，从而得出玩家不应该换门的结论（[11]），但并没有给出非博弈视角下换门与不换门赢得汽车的概率；……