二次曲面抛物截面存在性定理*

安佰玲，张德燕

(淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000)

二次曲面是空间结构中最常见的函数曲面，在计算机辅助几何设计(CAGD)和机械制图中有重要应用.不少学者将二次曲面应用于研究参数曲面的拟合、复杂三维几何体的建模及曲面拼接问题[1-5]，研究这些问题的过程中，都离不开二次曲面与平面的截线形状及参数方程的讨论.此外，讨论二次曲面上的具有某种几何特征的平面截线存在性问题，对于研究二次曲面的几何性质与形状具有重要的理论价值.目前，关于二次曲面平面截线的存在性及其应用研究大多集中在圆或椭圆截线上[6-9]，因为这类二次曲线的代数方程比较容易构造.而关于抛物线截面的存在性及其代数方程求解问题的研究成果不多，因此，笔者拟利用2种方法给出二次曲面抛物线截面存在的条件及其代数形式.

1 预备知识

为了叙述方便，作以下约定：

定义1设二次曲面S:F(x,y,z)=0，若平面π:lx+my+nz+p=0与S的交线为抛物线，则称平面π为二次曲面S的抛物截面.

引理1[10]对于二次曲面S：F(x,y,z)=0，设λ1,λ2,λ3为实对称矩阵A*的特征值，则存正交变换X=QY，使得S的方程变为

f(x′,y′,z′)=λ1x′2+λ2y′2+λ3z′2+ax′+b′y+cz′+d=0，

其中X=(x,y,z)T,Y=(x′,y′,z′)T，(a,b,c)T=2QTξ，d=a44.

二次曲面Σ:f(x′,y′,z′)=0与S:F(x,y,z)=0仅相差一个正交变换X=QY，因此二次曲面S抛物截面的求解可转化二次曲面Σ抛物截面的求解，所求的抛物截面也相差一个正交变换X=QY.

引理2[11]在xoy平面上，二次曲线φ(x,y)=0为抛物线⟺I2=0,I3≠0.

2 主要结果及其证明

定理1对于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，若二次曲面Σ存在抛物截面，设α，β为抛物截面上的正交单位向量，β沿抛物线的对称……