三维图灵图案的数值模拟

高仁祥

摘要：本文主要研究了布鲁塞尔模型，讨论了霍普夫分岔和图灵分岔分别为超临界和亚临界时的情况，发现全局振荡在空间上失稳后形成了振荡的图灵图案;在图灵和霍普夫分岔都是亚临界的区域，通过施加周期性外力也可产生振荡的图灵图案。这些图案大部分在时空上都呈周期性。本文首次在三维体系中探索了图灵图案的结构、形成以及基本规律。

关键词：图灵图案;振荡;分岔

1. 引言

1952年，被后人称为计算机理论之父的英国著名数学家阿伦·图灵 （ Alan Turing ） 在其论文“形态形成的化学基础”中，从数学的角度表明在反应扩散系统中，稳定均态会在某些条件下失稳，并自发产生空间定态斑图，后人以其名字命名为图灵图案（ Turing Pattern ）。由于图灵图案和自然界中的某些图案非常相似，如动物体表的花纹和植物的花朵等。因此对图灵图案的研究有助于了解动物体表花纹形成的过程和植物的花朵的形成机理，有助于我们早日揭开大自然的“神秘面纱”。三维图灵图案比起一维和二维更接近于真实的生物体系，因此对三维图灵图案的研究可以帮助我们深入探求生命体系中的非线性本质和斑图形成的基本规律，揭示生命体系中深层次的动力学机理。通过对一些斑图动力学中建立的数学模型进行数值模拟和理论分析，可用于指导斑图动力学实验研究，揭示斑图动力学机理和实现复杂化学反应的调控，即现象的确证和调控。

2.模型计算