利用曲线与直线公共点解决有关导数问题

贺德光

[摘 要]研究利用曲线与直线公共点解决有关导数问题，能提高学生的解题能力.

[关键词]曲线;直线;公共点;导数

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0031-03

我们知道，两条均非直线的曲线的公共点问题，用数形结合法解决是行不通的.但曲线与直线的公共点问题用数形结合法来解决，笔者认为是可行的，并不赞同大多数人认为的“不严谨”的观点.比如，曲线[C1]：[y=fx]与直线[C2]：[y=ax+b]的公共点问题，其基本方法是：因[fx=ax+b⇔fx-ax-b=0].故令[Fx=fx-ax-b]，然后再考察方程[Fx=0]的实根（即函数[Fx]的零点）情况.殊不知方程[Fx=0]的实根情况，仍可看成是曲线[C1]：[y=Fx]与直线[C2]：[y=0]的公共点问题.因此，我们不能怀疑直线与曲线公共点问题的数形结合法的正确性与严谨性.

本文试通过数形结合处理有关曲线与直线（“一曲一直”）的公共点问题，从而解决相关导数问题.

一、将目标问题转化为“一曲一直”的公共点问题是寻找相关导数问题突破口的一种有效手段

[例1]已知函数[fx=ex-ax2-bx-1]，[a∈R]，[b∈R]，且[f1=0].若[fx]在区间（0，1）上有零点，求实数[a]的取值范围.

解：因为[f1=0⇔b=e-a-1]，又[f0=0]，所以[f0= f1=0].

于是从可导函数[fx]有[f0=f1=0]特征可知，当[fx]在[x∈（0， 1）]上有零点时，其导函数[f'x]在[x∈（0， 1）]上必须有两个或两个以上的零点.

而[f'x=0⇔ex-2ax-b=0⇔ex-2ax=b].令[C1]：[gx=ex-2ax]，[C2]：[y=b]，则[C1与C2]在[x∈（0， 1）]上至少有两个公共点.

由于[g'x=ex-2a]，且[x∈（0， 1）]时，有[ex∈（1， e）].

因此，當[2a≤1]时，在[x∈（0， 1）]上，[g'x=ex-2a≥ex-1>0]恒成立.此时[gx]在[x∈（0， 1）]上递增，[C1]：[y=gx]与[C2]：[y=b]在[x∈（0， 1）]上最多只有一个公共点，不合题意.

当[2a≥e]时，在[x∈（0， 1）]上，[g'x=ex-2a≤ex-e<0]恒成立.此时[gx]在[x∈（0， 1）]上递减，[C1]：[y=gx]与[C2]：[y=b]在[x∈（0， 1）]上最多也只有一个公共点，不合题意.

当[1<2a<e]时，即[a∈12， e2]时，[g'x0=0⇔ex0=2a⇔x0=ln2a]，且[x0=ln2a∈ln1， lne =（0， 1）].

在[x∈（0， x0）]上，[g'x=ex-2a<ex0-2a=0]恒成立，此时[gx]递减;在[x∈（x0， 1）]上，[g'x=ex-2a>ex0-2a=0]恒成立，此时[gx]递增.

故[gx0=ex0-2ax0=2a-2ax0=2a-2aln2a]为[gx]在[x∈（0， 1）]上的最小值.

据[C1]：[gx=ex-2ax]在[x∈0， 1]上的大致图像（如图……