用椭圆参数方程求弦长

刘鑫 张甲

[摘 要]文章结合椭圆的参数方程推导出了当直线与椭圆相交时直线斜率存在与不存在时椭圆弦长的6个公式.探讨利用椭圆的参数方程求弦长的方法，有利于提高学生的解题能力.

[关键词]参数方程;椭圆;弦长

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0034-03

有关椭圆弦长问题的求解方法有很多，文献[1]中就给出了常用的6种求解方法，如弦长[AB=1+k2x1+x22-4x1x2]，该公式就是将椭圆方程和直线方程联立后，再由两点间的距离公式和韦达定理得到的.还有应用直线的参数方程、椭圆的第二定义等方法求解椭圆弦长问题的.文献[1]中的6种求解方法几乎涵盖了涉及此类问题的所有常用方法，但笔者查找了大量有关椭圆弦长问题的文献后，发现在所有常用方法中均没有发现有关应用椭圆的参数方程来求解椭圆弦长问题的，故而笔者考虑将椭圆的参数方程引入有关椭圆弦长的问题中，应用参数方程求解椭圆弦长问题.

为行文方便，先引入椭圆的参数方程.

[x=acos θ，y=bsin θ.] （1）

其中[a]表示椭圆的长半轴、[b]表示椭圆的短半轴，参数[θ]表示[∠AON]的大小（如图1）.

一、当直线斜率存在时

1.直线过坐标原点

如图2，过原点的直线[l]与椭圆交于[A]，[B]两点，直线的斜率为[k且k≠0]，求弦长[AB].

由椭圆的性质可得，[AB=2OA].根据椭圆的参数方程，设[A]点坐标为[acos θ， bsin θ]，直线[l]的斜率[k=batan θ].则弦长[AB]就可以表示为：

[AB=2OA]

[=2acos θ-02+bsin θ-02]

[=2a2cos2θ+b2sin2θcos2θ+sin2θ]

[=2a2b21+k2a2k2+b2.]               （2）

2.直线过椭圆焦点

如图3，过焦点[Fc， 0]的直线[l]与椭圆交于[A]，[B]两点，直线斜率为[k且k≠0]，求弦长[AB].

根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点的坐标为[Aacos θ1， bsin θ1]，[Bacos θ2， bsin θ2]，则直线[l]的斜率[k=bsin θ2-sin θ1acos θ2-cos θ1]，则[sin θ2-sin θ1=akbcos θ2-cos θ1 ].故弦长[AB]可表示为

[AB=a2cos θ2-cos θ12+b2sin θ2-sin θ12=a2cos θ2-cos θ121+k2.]

又因为直线[l]的斜率与直线[AF]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1-c]，所以可得[sin θ1=kbacos θ1-c].由三角函数的平方关系[sin2θ1+cos2θ1=1]得

[k2b2acos θ1-c2+cos2θ1=1]

[a2k2b2+1cos2θ1-2k2acb2cos θ1+k2c2b2-1=0.]

令[x=cos θ1]，则可得关于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2-2k2acb2x+k2c2b2-1=0]，根据一元二次方程判别式[Δ=-2k2acb22-4a2kb2+1k2c2b2-1=4k2+4>0]，得该一元二次方程必有两个不相等的实数根[x=2k2acb2±41+k22a2k2b2+1=k2ac±b21+k2a2k2+b2]，则由椭圆参数方程的相关性质可设[cos θ1=k2ac+b21+k2a2k2+b2]，[cos θ2=k2ac-b21+k2a2k2+b2]，所以弦长[AB]就可表示为

[AB=a21+k2k2ac-b21+k2a2k2+b2-k2ac+b21+k2a2k2+b22]        [=a21+k24b4（1+k2）a2k2+b22=2ab21+k2a2k2+b2.]      （3）

3.直線过任意点

如图4，设直线[l]的方程为[y=kx+m]与椭圆交于[A]，[B]两点，直线的斜率为[k且k≠0]，与[x]轴交点为[C-mk， 0].求弦长[AB].

由上述可得[AB=a21+k2cos θ2-cos θ12].又因为直线[l]的斜率与直线[AC]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1+mk]，所以得[sin θ1=akbcos θ1+mb].由三角函数的平方关系[sin2θ1+cos2θ1=1]得

[akbcos θ1+mb2+cos2θ1=1a2k2b2+1cos2θ1+2kamb2cos θ1+m2b2-1=0.]

令[x=cos θ1]，则可得关于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2+2kamb2x+m2b2-1=0]，根据判别式[Δ=4k2a2m2b4-4a2k2b2+1m2b2-1=4a2k2-m2b2+4=4a2-m2k2b2k2+4>0]，所以该一元二次方程必有两个不相等的实数根：

[x=-2akmb2±4a2k2+b2-m2b22a2k2b2+1=-akma2k2+b2±ba2k2+b2-m2a2k2+b2，]

则由椭圆参数方程的相关性质可设[cos θ1=-akma2k2+b2+ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，[cos θ2=-akma2k2+b2-ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，所以弦长[AB]就可表示为

[AB=a21+k2cos θ1-cos θ22=a21+k24b2a2k2+b2-m2a2k2+b2=2ab1+k2a2k2+b2-m2a2k2+b2.] （4）

4.直線斜率为0

如图5，设直线[l]的方程为[y=mm<b]与椭圆交于[A]，[B]两点，求弦长[AB].

根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点坐标为[Aacos θ， bsin θ]，[B-acos θ， bsin θ]，则可得[m=bsin θ⇒sin θ=mb]，所以弦长[AB]可表示为

[AB=2acos θ=2a1-sin2θ=2ab2-m2b2=2ab2-m2b].        （5）

二、当直线斜率不存在时

1.直线过椭圆焦点

如图6，过焦点[Fc， 0]的直线[l]与椭圆交于[A]，[B]两点，求弦长[AB].

根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点坐标为[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，则可得[acos θ=c] [⇒cos θ=ca]，所以弦长[AB]可表示为

[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-c2a2=2b2a].       （6）

2.直线过任意点

如图7，直线[x=n]与椭圆交于[A]，[B]两点，求弦长[AB].

根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点坐标为[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，则可得[acos θ=n⇒cos θ=na]，所以弦长[AB]可表示为

[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-n2a2=2ba2-n2a.]    （7）

文章利用椭圆的参数方程，推导出了当直线与椭圆相交时直线斜率存在与不存在两种情况共6个公式.这6个公式涵盖了求椭圆弦长的所有类型，其中公式（4）称为椭圆弦长的“万能公式”，当直线斜率存在时都可用它进行计算.在文献[3]中，作者利用直线与椭圆的直角坐标方程也推导出了此公式，不过计算过程较为复杂.文献[1]利用放射变换的方法证明了此公式，虽然在一定程度上简化了计算过程，但对于高中学生来说理解起来也有一定的困难.

[   参   考   文   献   ]

[1]  钟德光，蔡方明，陈宇鹏.求椭圆弦长，方法知多少？[J].理科考试研究，2018，25（7）：21-23.

[2]  郑庆安，潘玉晓. 椭圆参数方程中参数的几何意义及性质[J]. 南阳师范学院学报，2014，13（3）：12-13.

[3]  廖炳江.求椭圆弦长的一个公式[J].安顺师专学报，1999（4）：40-43.

（责任编辑 黄桂坚）