有关几何变换中考试题的命题实践与思考

方圆

摘要：随着我国社会经济的快速发展，教育事业受到了人们的广泛关注。而初中数学教学作为一门基础学科更加受到了教育界的重视。初中数学中的几何变换思想是提高学生空间想象能力的一种有效途径。所以几何变换思想在初中数学教学中占据着重要地位。下面将对初中数学几何变换中考试题的命题实践进行相关的探究。

关键词：几何变换;中考试题;命题实践

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-44-464

几何变换作为初中数学新课程新增的教学内容，是“空间与图形”领域的重要组成部分，在现实生活中有着广泛的应用。几何变换包括轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换等。轴对称变换、平移变换、旋转变换只改變图形的位置，不改变图形的形状和大小;相似变换改变图形的大小，但不改变图形的形状。

几何变换的学习有助于学生从“变换”的角度认识传统的几何图形。轴对称变换与等腰三角形相对应，平移变换与平行四边形相对应，相似变换与相似形相对应，这些都是欧氏平面上常用的特性。几何变换有着特殊的教育价值，特别是在发展学生的空间观念，以及观察、实验、探索、合情推理等方面具有“过程性”教育价值。

几何变换又是以运动的观点研究图形，通过几何变换，不仅能生成、创造许多新

的几何图形，而且能衍生新的图形性质。有关几何变换的中考试题不仅能有效考查学生对图形变换及动态变换过程中的规律的认识，而且能有效考查学生发现和探究问题的水平，还能有效考查学生的空间观念、图形的直觉判断能力和逻辑推理能力。

下面笔者就以近年中考数学试题为例，谈谈编制有关几何变换中考题的实践与思考。

一、利用“新”的几何变换来编制试题

这里的“新”的几何变换指的是学生暂时还没有学过的几何变换，主要采用阅读理解的题型，将“新”的几何变换作为学生数学探究的载体，来研究在“新”的几何变换下图形的变化规律和性质。

例：如图1，在平面上，给定了半径为r的QO，对于任意点P，

在射线OP上取一点P’，使得OP·OP’=r2，这种把点P变为点P’，的变换叫做反演变换，点P与点P’，叫做互为反演点。

（1）如图2，⊙O内外各一点A和B，它们的反演点分别为A’和B’

求证：∠A’=∠B。

（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这

两个图形叫做互为反演图形。

①选择：如果不经过点O的直线l与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是（ ）。

（A）一个圆（B）一条直线

（C）一条线段（D）两条射线

②填空：如果直线z与QO相切，那么它关于QO的反演图形是——，该图形与0O的位置关系是——。

【说明】2001年，全国部分地区先期实施初中数学新课程改革，作为实施新课

程改革的“预热”，笔者有意设计了这一道几何变换题，意在改变以往各类考试中过分强调的“演绎推理”的考查，转向对学生的观察、操作、探索、合情推理等“过程性”考查。

本题以“反演变换”为载体，要求学生在阅读理解的基础上研究变换的规律。在“反演变换”下，圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内。由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几个点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形是圆。又由于直线与圆的切点的反演点是它本身，所以只要在该直线上取几个点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形是与已知圆相内切的一个圆。

本题主要考查圆的有关知识、阅读理解能力和合情推理能力。本题的得分率为

0.45，学生答题过程中的主要错误有：不理解“反演变换”的意义而无法求解;缺乏合情推理的基本方法而无法求解;表达错误——把两圆“内切”说成“相切”或“外切”

二、利用特殊工具作图来编制试题

作出一个图形在几何变换后的图形，这是数学中考命题的常用方法，当然这些

作图要利用几何变换的特性，也要依靠逻辑推理使作图步步有据。而利用特殊工具作图命制几何变换中考题不仅情境新颖、思维价值较高，而且能有效考查学生的作图能力和创新意识。

三、利用定量研究变换后的图形关系来编制试题

几何不仅研究图形，而且研究图形的运动和变化，如果按照一个“规则”移动一个几何图形上的所有点，就能创造一个新的图形，这就是几何变换，并且原图形上的点与新图形上的点一一对应，根据这一特点，可以在中考试题中设计几何变换题，让学生定量研究这个“规则”。

四、利用几何变换设计新图形来编制试题

利用几何变换设计图案是一项十分有趣的活动，可以发挥学生的主动性和创造性，也可以使学生感受到图形变换的乐趣和价值。由于学生已经学习了利用轴对称变换、平移变换、旋转变换设计图案，因此构造一个新的几何变换，要求学生理解新的几何变换，并利用其设计图案，无疑能增加试题的思维价值和考评价值。

五、利用几何变换的组合来编制试题

将两种几何变换进行有序组合，可以生成新的几何变换，于是，可以利用生成的几何变换研究几何图形以及它们的性质。对学生而言，此类几何变换有似曾相识的感觉，但此类几何变换与原来的两种变换有着本质的不同，也有更丰富的内涵。利用几何变换的组合来构造试题无疑为中考数学命题开启了一扇窗户。

总之，开发和设计有关几何变换类中考试题，不仅可以创设较多的新的试题情境，鼓励学生创造性地解决问题，而且对保证中考数学命题的质量，引导初中数学教学具有重要意义。

参考文献

[1]邬佩芬.几何变换在数学解题中的作用[J].宁波教育学院学报，2003（增刊）：73-74.