单变量时间序列模型的参数估计

沈硕

摘要：时间序列一般会在生产和科学领域当中进行使用。指的是一系列时刻之下获取到的离散数字所形成的集合。时间序列可以借助系统当中提供的时间序列数据，借助参数估计和曲线拟合法分析之后的趋势。本文主要介绍了移动平均（MA）、自回归（AR）等多种模模型，得到预估参数，为实际问题提供解决思维和方案。

关键词：道路工程;三维线性;事故率

1 引言

时间序列当中的数据具有一定的复杂性，例如经济领域当中的年产值、产品的市场销量、产品的价格变动、股票的实时变化、地区的人口流动、国民收入情况等都能够形成时间序列，除此之外，铁路的客流量、自然环境当中的月降水量、河流数量、太阳黑子数等等，也都是以时间序列的形式进行排列。

当前在经济、社会、科学等多个领域当中，依然有很多的时间序列具有缺陷，急需改正和弥补。科学家们在对这些时间序列进行分析的过程当中，也希望能够掌握相关现象的浮动规律，从动态层面更加了解现象和其他现象之间的联系，提高获取数据的准确性，将得到的信息和数据应用到研究当中，通过预测来掌握某一现象的未来发展趋势。

恩格尔之后对于时间序列的研究分析一直持续了下来。直到目前，时间序列分析已经有了相对成熟、完善的理论架构，并且随着互联网时代的不断发展，这一架构逐渐和当代信息技术、互联网技术相融合，提高分析手段的技术性。但是这些高技术分析策略，比如神经网络等，所涉及的理论知识繁杂，并且当前的应用范围非常小，需要走过很长的发展道路。所以本文在分析过程当中，仅以基本的时间训练理论为基础，以研究简单易行的解决方案为最终目标。

2 时间序列的介绍

2.1 何为时间序列

时间序列顾名思义是以时间为排列顺序，其变化情况受到时间的影响，在科学、社会、经济等各个领域当中应用范围较广。在长时间的发展之后，时间序列当中往往会存在非常庞大的数据量。而如何针对这些数据展开统计分析，获取到有价值、有意义的信息，是当前大多用户都比较关心的一个问题。

例如针对经济运行发展过程，假设运行开始时间为t0，那么可以根据时间变化将整个过程划分为Y1，Y2，∧，YT，YT+1，∧，YT+n多个变量展开描述。其中一个随机变量序列代表一个随机过程。正常情况下，时间序列数据在随机过程当中表示为Y1，…，YT，指的是时间序列的一种实现方式。对于时间序列展开分析，其实就是通过随机过程实现掌握相關的发展规律。

从系统意义上看，时间序列就是某一系统在不同时间（地点、条件等）的响应。这个定义从系统运行的观点出发，指出时间序列是按一定顺序排列而成的。这里的“一定顺序”即可以是时间顺序，也可以是具有各种不同意义的物理量，如代表温度，速度或其它单调递增的取值的物理量。

可见，时间序列只强调顺序的重要性，而并非强调必须按时间序列排序，而且时间序列是所研究系统的历史行为的客观记录。因而它包含着系统结构特征（如周期波动的周期、振幅、趋势的种类等）;揭示其运行规律，进而用以预测、控制其未来行为;修正和重新设计系统（如改变其周期、参数），使之按照新的结构运行。

2.2 时间序列的研究概况

时间序列分析包含的范围非常广泛，并且研究内容、研究深度涉及各个领域。对时间序列开展分析主要有以下用途：①对系统整体的阐述。在开展系统的观测试验中，采用数值分析方法对采集到的数据进行拟合，实现对系统的阐述。②对系统整体的研判。在开展系统的观测试验中，若发现存在两个及以上的变量因子时，可以通过因子在一个时间序列中的发展过程去表述另一个印在时间序列中的发展变化。③对系统未来变化的预估。一般而言，想要实现对系统的精准预测，要建立合理且有效的模型，多采用ARMA模型。④提供决策基础。通过建立有效的时间序列模型，再调整变量使得系统整体保持在一定水平线上，若发现系统整体要偏离水平线时，就要考虑对系统整体进行控制。上世纪初期，现代统计学的蓬勃发展使得时间序列的研究内容进入学者的研究视野之内，从这一时期直到上世界70年代末期，针对这一问题的研究一直被线性假设这一研究思路所把控，围绕这一问题所建立的模型均为线性模型，这一时期的时间序列均为线性时间序列。针对这一类时间序列的研究，截止目前已经取得重大突破和进展，成果广泛。然而，线性时间序列仅仅是时间序列的一类，并且属于最简单的一种类型。虽然如此，在半个世纪以来，整个领域研究的最为深入、最为彻底的也是有限参数的线性时间序列模型，例如众所周知的LARMA模型。并且，通过实践验证，表这类时间序列模型具有一定的可靠度。然而，随着科学技术的发展和研究深度的不断延伸，线性时间序列模型的缺点愈发严重，应用范围有限，自适应性不足。例如，在这类模型中，无法产生具有非对称周期特征的数据，产生的数据一般是可逆的。在实际使用中，采用这类模型开展研究工作时，对整个系统的预测并不是基于时间序列当前特征的，预测优良也就无法得到保证。

3 基本ARMA模型

时间序列分析和模型建立过程当中涉及到的主要对象为观测数据系列，在建立模型的过程当中，会在掌握数据之间关联性的前提下，借助回归分析法制定当前时刻和过去时刻之间存在的具体联系的模型。

时间序列分析法于1976年正式诞生，最初的基本模型主要有自回归模型、移动平均模型、以及两种模型混合的共三种模型，这三个模型都是借助历史数据来展开线性预测。

在确定随机成分并建立时序模型的过程当中，一般会使用到的方法为时序建模分析法，

使用该模型应用到实际的当中有很多便利之处。该模型是线性模型，所以只需要根据较少数量的参数就能够获取到具体的模型，处理步骤较为简单;并且该模型有一定的理谱密度，和所有的连续谱密度差距都不大;并且该模型分析数据结构和内在性质更为容易，能够保证在线性最小方差意义环境当中所提供的预报和控制是最合适的。

ARMA模型又分为以下几种形式：

3.1 自回归模型（AR：Auto-regressive）

AR（p）模型为p阶自回归，针对该模型进行相关因素影响作用分析时，只需要使用到时间序列变量当中历史观测值这一类数据就能够得到明确的分析结果，其他条件并不会对分析产生干扰，比如模型变量相互独立假，除此之外模型还能够有效解决一般回归预测方程当中的自变量选择、多重共线性问题，表示方式如下：

此时间序列是一个自回归训练，并且为p阶自回归模型，即AR（p），其中的 具有自回归特性，为模型当中的待预测参数，是一个以 随机项为服从0均值， 方差为正态分布的白噪声序列，和 无关联。

3.2 移动平均模型（MA：Moving-Average）

MA（q）模型为q阶移动平均模型，借助不同时期的干扰和预测误差产生的组合进行预测，序列当中波动较大的随机变化对时间序列方向不会产生干扰，具体如下表示：

其具体表示为一个移动平均序列和q阶移动平均模型，即MA（q）。其中的 是待预测的移动平均参数，是一个以 随机项为服从0均值， 方差为正态分布的白噪声序列。

3.3 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）

ARMA（p，4）具有自回归性和移动平均性，如果时间序列 是前期值、当前数值、前期随机干扰综合产生的线性函数，那么该模型就是将前面两种模型进行混合所形成的;其中AR表示自回归，p表示回归项;MA表示移动平均，q表示移动平均数，所以该模型具体表现形式为：

此模型当中的时间序列具有自回归移动平均性，模型以（p，q）阶进行建立，即ARMA（p，q）。其中的 具有自回归性， 具有移动平均性，是模型当中的待预测参数。整个序列是以 随机项为服从0均值， 方差为正态分布的白噪声序列。如果q为0，则是AR（p）模型;p为0则是MA（q）模型。

4時间序列模型建立步骤

ARMA模型Box-Jenkins方法为理论基础，建立过程需要反复执行的步骤为：①参数估计;②假设检验;③模型识别。反复执行这三个步骤，并且通过假设检验来获取模型当中的时间序列。

其中使用的Box-Jenkins方法理论步骤分为：

（1）平稳化

可以将对数变换和差分变换两种方法进行综合使用，令自相关函数当中的指数有所衰减，保证模型的平稳性。

（2）识别、估计模型。

根据上文可知，模型识别过程需要遵守一定的标准，在ACF自相关、PACF偏自相关形状指导下，获取模型的p、q值，过程当中比较常用的方法为最小二乘法。因为能够完成此项工作的计量软件类型较多，所以本文不针对其中的估计方法进行详细叙述。

（3）诊断

诊断是为了了解被估测模型当中是否为白噪声残差序列，如果是则表示该模型刻画时间序列的准确性较高，如果不是，就需要回到第二个步骤进行重新估算，得到新的模型。诊断是必不可缺的环节，因为这个过程能够对时间序列ARMA（p，q）过程、样本自相关函数和偏自相关函数识别提供帮助，而且如果p、q都不为0，整个识别过程具有很强的复杂性，识别过程并不容易，需要借助丰富的技巧和经验推动识别顺利进行。

（4）预测

通过诊断之后得到的模型能够进行预测应用。

5 ARMA-GJR-M模型参数估计

对上述模型，记 ， ， ， ， ， ， ， ， ，那么 为模型ARMA（m，s）-GJR（p，q）-M（k）待估参数集。

为了得到参数的后验密度分布，可以引用以下定理。

ARMA-GJR-M模型的均值方程可写成如下形式：

这里 对所有i>p成立， 对所有的i>q成立。

构建参数θ的后验密度函数为 ，那么在给定ε0的情况下，模型的似然函数为

其中

参考文献

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