关于三角行数和正方形数的注记及算法构造

赵美利 唐静

摘要：三角形数是否能化为正方形数是一个有趣的数学问题，没有形成一定的结论，该文结合数列性质和佩尔方程，讨论三角形数可化为正方形数，为研究三角形数和正方形数提供一定的参考价值，并利用了Java语言的大整数特征结合 Eclipse集成开发环境，验证了其结论的正确性。

关键词：三角形数;正方形数;佩尔方程;大整数

中图分类号：TP393  文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）29-0171-03

Note and Algorithm Construction of Triangular Row Number and Square Number

ZHAO Mei-li， TANG Jing

（Chuzhou City Vocational College， Chuzhou 239000， China）

Abstract： Triangle number whether can into the square number is an interesting mathematical problems， not form a certain conclu⁃sion， based on the sequence of the nature and pell equation， The necessary and sufficient conditions for the triangle number to be transformed into a square number are discussed， Let the positive integer ofan the nrow of the triangle number be，thean from smallto large， constitute ana series sequence is infinite， has a recurrence formulaan +2 =6an +1 - an +2，a1= 1，a2= 8 The general formula isan =  [（3+ 2）n +（3- 2）n]- ; The number of triangles can be changed into the number of squares， which pro⁃

vides some reference value for the study of the number of triangles and the number of squares. The correctness of the conclusion is verified by using the feature of large integer ofJAVA language and Eclipse integrated development environment.

Key words： triangle number; square number; pell equation; large integer

众所周知， 三角形数和正方形数是数学中一类有趣的问题，我们熟悉的古希腊数学家毕达哥斯拉提到过三角形数和正方形数[1]，他们把数看作点集或点状物体，把数字和图形联系在一起，将正整数和正方形、正五边形、三角形等联系起来，将数字划分为正方形数、五边形数、三角形数等，使得数字更加形象生动，研究规律很方便。之后很多人对此问题进行了讨论和研究，得出了一些特殊的三角形数和正方形数，所有大于3的三角形数都是合数，所有三角形数的倒数之和是2，任何一个完全平方数都可以表示成相邻的两个三角形数之和[2]。郑玉美[3]利用余弦定理从1200三角形数方面得出了两个性质，张爱静[4]从三角形数和数三角形角度讨论了三角形的一些规律，得出了数与规则图形的一些结论。黄祎[5]利用初等方法和解析方法，首次提出了三角形数和数列的关系，研究Smarandache三角形数的下部及上部数列的几何平均值的极限问题。智婕[6]在佩尔方程x2-py2=1的求解技巧一文中把佩尔方程和三角形数建立了联系，利用佩尔方程的解的规律得到了满足一定条件的特殊的三角形数。……