基于SVD 与数学形态学分形维数谱的战场声特征提取*

张 坤，邸 忆，顾晓辉

（1.武汉数字工程研究所，武汉 430074；2.湖北经济学院，武汉 430205；3.南京理工大学，南京 210094）

0 引言

坦克与直升机火力猛、机动性强并具备良好装甲防护能力，目前声目标识别技术广泛应用于这两类目标的智能识别［1］。声信号特征提取是采用模式识别方法对目标分类的关键步骤之一。区分度高的特征将直接影响分类器的设计，对提高分类精度具有重要意义。近年来，非线性特征因其计算简便，能体现不同一维信号的区别而被广泛采用，分形维数是表征信号非线性的常用参数，但一组声信号只能得到一个分形维数，并不能充分反映信号之间的非线性区别［2］。目前解决该问题有两种方法：1）采用多重分形维数；2）将分形维数与信号分解方法结合［3］。这两种方法的共同点是得到更多反映信号非线性特征的分形维数。

奇异值分解（SVD）是一种广泛应用的信号处理方法，具有计算量小，原理简单，对信号进行线性分解的特点，广泛应用于信号处理领域。SVD 分解前首先需要将信号重构为矩阵形式，文献［4-5］对Hankel 矩阵形式的SVD 分解方法进行了深入的研究，发现了随机噪声信号与有效信号在奇异值上有不同的特性，由于SVD 实质是一种线性分解，选择有效信号的特征值能重构信号，达到信噪分离的目的。SVD 还能根据需要控制分解的分量个数，这使分解方法更具灵活性。但SVD 分解重构的信号分量的与信号频率的关系却不如小波与EMD 方法清晰。文献［6］发现对信号构建Hankel 矩阵后进行SVD 分解，当Hankel 矩阵维数大于信号中频率数量的两倍，每一个频率成分产生两个有效奇异值，这有效地弥补了SVD 分解的不足。文献［7］对SVD 提取频率分量的条件进行了探索，发现信号中加入一定的噪声更有利于信号频率分量的提取。又由于SVD 重构具有线性叠加性，将这种方法与分形维数相结合，能够得到足够的分形维数，这些分形维数能够更清晰地反映信号的非线性特征。

本文的分形维数计算方法采用了形态学计算方法。形态学分形维数估计方法首先由Petros Maragos 等［9］提出，李兵［10］将这种方法应用于仿真信号的分形维数估计，并与传统的盒计数法进行对比，验证了形态学方法具有更好的精度和运算效率。

为了反映出信号分量对整个信号非线性的影响，本文提出了一种SVD 与数学形态学分形维数谱（Singular Value Decomposition and Mathematical Morphological Fractal Dimensions Spectrum，SVD-MMFDS）。SVD-MMFDS 首先对信号重构Hankel 矩阵进行SVD 分解，根据频率分量与奇异值的关系，重构信号分量。这些信号分量按照幅值从大到小分布，计算第1 个分量的分形维数，再叠加第2 个信号分量，计算第2 个分形维数，之后每叠加一个分量就用数学形态学方法计算一次分形维数，直到完全重构信号，得到原信号的形态学分形维数。得到的分形维数的集合即为分形维度谱。同时将本文方法与文献［2］提出的VMD 与数学形态学分形维数结合的方法进行对比，说明本文方法提取的特征具有更好的区分度且运算效率更高。

1 基于Hankel 矩阵的奇异值分解与重构

由式（6）可知利用Hankel 矩阵进行SVD 分解后，将信号分解为个信号分量的线性叠加，这种优良的线性叠加性可使信号的重构更加简单高效，同时构造的分量个数可根据需要控制，相比EMD 小波等分解方法具有更好的灵活性。

2 非零奇异值与信号频率成分的关系

式（7）中，m=N-n+1，N 为信号的长度。根据文献［5］提出的第2 个规律可得：xi（j）假设所对应的两个奇异值为σk与σk+1，根据SVD 分解的线性叠加性满足：

对两边取平方，利用uk，vk的正交性以及三角函数求和公式可得：

3 数学形态学分形维数谱估计方法

4 SVD-MMFDS 与VMD-数学形态学分形维数算法流程

原始信号仅能得到一个分形维数，通过SVD 分解重构后可以得到具有物理意义的频率分量，利用这些频率分量与分形维数结合可以得到信号的分形维度谱。流程图如下页图1 所示。

图1 SVD-MMFDS 声特征提取流程图

构造步骤如下：

1）首先根据文献［4］得到的结论，重构的Hankel 矩阵的秩越大，噪声对各频率分量奇异值的影响就越小，故当信号长度为N，可取行数m=N/2+1，列n=N/2（N 是偶数）或行m=（N+1）/2、列（N+1）/2（N 是奇数）。

2）再将信号的Hankel 矩阵进行SVD 分解，根据1 个频率分量对应两个紧密排列的奇异值的规律，依次重构出频率分量。第1 个频率分量幅值最大，之后依次排列。

3）运用形态学方法先求第1 个频率分量的分形维数，再叠加第2 个频率分量后计算叠加信号的分形维数，之后每叠加一次分量，求一次分形维数，直至得到原信号的分形维数，由此组成信号的形态学分形维度谱。

VMD- 数学形态学分形维数算法流程如图2所示：

图2 VMD-数学形态学分形维数算法流程图

1）获取声信号，对信号进行频谱分析，确定能量的主要集中频段0～fmaxHz。

2）在对信号进行VMD 分解，初始化分解的IMF 个数k=2。

2008年美国因为房地产市场泡沫破裂而出现大规模金融危机，对实体经济也产生了很大的影响。究其原因，一是因为美国居民超前的消费意识，二是对于金融创新尚未有完善的监管机制，于是产生危机。最终房地产市场泡沫被紧缩的财政和货币政策刺破，危机进一步扩大并传导至实体经济。

4）确定k 值后，再计算每个IMF 分量的容量维数与信息维数作为特征量。

5 战场声目标的特征提取

为了验证该方法在声目标特征提取上的可行性与有效性，进行半实物仿真试验。试验原理图与装置实物图如图3 所示。4 个相同的声传感器S1、S2、S3、S4均匀布置在半径为25 cm 的圆盘平台上，声源距圆盘圆心处距离为333 cm。

图3 试验装置示意图与实物图

声源及装置均保持静止。采用PXI 数据采样系统对声信号进行采集，采样频率为20 kHz，量程-4 V～+4 V。用该装置分别采集多组坦克声信号与直升机声信号，坦克信号声音信号包含了坦克行驶的多种情况，直升机声信号为远处高速飞行的声音，声音信号经过调理电路处理，保证了信号强度的一致性。

该装置除了利用声信号进行目标识别，同时还可利用4 组信号间的相位差进行目标的定位。测量信号的长度均为1 024 个采样点，信号在处理前经过了调理电路进行了滤波预处理，所得的一组典型的坦克与直升机的声信号与频谱如下页图4 所示。

图4 声信号时域与频域图

通过两种声音的频谱图可知，坦克与直升机声的主要能量集中在0 Hz～3 000 Hz 左右，同时直升机声较坦克声有着更多高频分量，这为利用分形维数区分两种声信号提供了可能。由于截取的信号长度为1 024，按照奇异值分解与重构规则，构建的Hankel 矩阵维数为513 512，则奇异值数量为512个，产生的信号分量为256 个。分别得到直升机与坦克声信号的奇异值序列如图5 所示。

图5 直升机与坦克声信号的奇异值序列

由图5 所示，这组坦克与直升机声信号经过SVD 分解后，奇异值逐渐减小，前几个较大的奇异值呈现出两两紧密排列的特点。随着奇异值序号增大，这种紧密排列的特点不再明显，采用与上述方法重构信号分量，提取该组坦克与直升机声信号的前10 个的奇异值重构了5 个频率分量。如图6，图7 所示。

图6 坦克声信号SVD 分解示意图

图7 直升机声信号SVD 分解示意图

图8 两种声信号形态学覆盖图

完成形态学覆盖后，求解SVD-MMFDS 的分形维数谱。首先计算第1 个频率分量的形态学维数，在叠加第2 个频率分量后，计算第2 个分形维数，直至将所有的分量叠加成原信号，计算最后1个分形维数，构建出信号的分形维数谱。作出10组典型的坦克与直升机声信号的分形维数谱，如图9 所示。

图9 坦克与直升机声的SVD-MMFDS 谱图

由图9 可知两种声信号的分形维数均会随着叠加的信号分量的个数而上升，且直升机的分形维数一般要高于坦克声的分形维数。当奇异值序号较低时，分形维数增加显著，信号分量叠加较多后，分形维数增加缓慢，几乎趋于平直。说明前几个分量对信号的非线性影响很大，而序号靠后的信号频率分量对整个信号的非线性影响已经很小了。基于此，当奇异值序号增大时，可以一次多叠加几个分量后再计算分形维数。故重新构造新的分形维数谱，前8 个分量每叠加一次，计算一次分形，后面248 个分量每个8 分量叠加后计算一次分形，一共得到39 个分形维数，如图10 所示。

图10 精简后的坦克与直升机声的SVD-MMFDS 谱图

采用文献［2］提出的方法与SVD-MMFDS 提取的特征进行对比。首先对信号进行VMD 分解，根据分解的要求的，1 组信号进行一次VMD 分解产生3个分量，再计算这3 个分量的容量维数与信息维数，分别计算再使用盒计数法计算各个分量的分形维数，作为信号的特征提取。随机抽取10 组坦克声与直升机声按上述步骤提取特征，得到各分量的分形维数如图11 所示。

图11 坦克与直升机声的分形维数分布

如图11 所示，样本中直升机声的容量维数与信息维数均大于坦克声相应IMF 的维数，具有较好区分性，但每个分量得到的特征值较少，作为特征量不够充足。而本文方法可以得到充足的特征量，能较好反映分量对信号非线性的影响情况，且具有良好的区分性。坦克声与直升机声的非线性差异较明显，故文献［2］提出的方法也能够适用，但当两种信号比较接近时，SVD-MMFDS 谱图能反映两种信号更多的差异性，还能通过灵活控制叠加分量数得到不同数量的特征量，算法具有更好的适用性。

6 结论

由于单一的分形维数不足以充分反映信号的非线性特征，多重分形与目前常用的信号分解、分形维数结合的方法有着计算量大、提取特征数目有限、特征区分度弱等问题，本文提出了SVD-MMFDS的方法来提取信号的非线性特征。

将信号进行SVD 分解后，需计算信号的分形维数作为信号非线性特征的度量。本文选择了基于数学形态学的分形维数估计方法。不同于传统的盒计算方法采用的规格划分，数学形态学方法采用形态学覆盖的方式，计算出的分形维数具有更高的精度与运算速度。

SVD-MMFDS 为了揭示分量信号与原信号非线性的关系，先计算第1 个分量的形态学分形维数，再叠加第2 个分量，计算第2 个分形维数，每次叠加都计算1 次分形维数，直到将所有信号叠加构成原信号。这样就得到与信号分量个数相同的分形维数谱，该分形维数谱能够成功揭示出分量对原信号非线性的影响。

为了验证SVD-MMFDS 在提取信号非线性特征上的有效性与可行性，将该方法应用于战场声信号的特征提取，并与VMD 和分形维数结合的方法进行对比，结果表明SVD-MMFDS 能提取更多的特征量，且具有良好的区分度，能够反映出信号更多的非线性特征，具有更好的适用性。