全纯曲线正规族分担超平面

郑晓杰， 刘晓俊

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

在亚纯函数的值分布和正规族理论中，有一个著名的现象（Block原理），即一个在区域D⊂C 有性质 P 的亚纯函数族是正规的，如果这个性质 P 使得亚纯函数在整个复平面 C 上是常数。Zalcman发表了一个更精确的叙述(Zalcman引理和 Zalcman-Pang 引理[1-2]) 去判断亚纯函数族的正规性。在全纯曲线的例子中也存在一些类似的现象。

Chen等[3]证明了全纯曲线在强分担条件下的唯一性定理（定理1）。

定理1f和g是从 C 到 PN(C)的2个非常数全纯曲线，1 ≤j≤q，Hj是q个 在 PN(C)上处于一般位置的超平面，使得f(C)⊈Hj,g(C)⊈Hj，f(z)和g(z)分担Hj，1 ≤j≤q。如果q≥2N+3，则f=g。

这里的“分担”意味着不仅f(z)∈Hjg(z)∈Hj，而且要求在

Yang等[4]考虑了全纯曲线正规族理论的相应结果，得到定理2。

定理2F 是从D⊂C 到 PN(C)的全纯曲线族，Hj是q≥2N+1个在 PN(C)上处于一般位置的超平面，1 ≤j≤q。假定对于任意的f,g∈F,f(z)∈Hj⇔g(z)∈Hj，z∈D， 1 ≤j≤q，则 F在D上正规。

刘晓俊等[5]使用了一个导曲线的特殊曲线去替代g，证明了定理3。

定理3F 是从D⊂C 到 PN(C)的一族全纯映射。Hl={x∈ PN(C):x,αl=0}是 PN(C)上处于一般位置的超平面，其中， αl=(al0,···,alN)T和al0≠0,l=1,2,···,2N+1。假定对于任意的f∈F，满足下列条件：

a.若f(z)∈Hl，则 ∇f∈Hl,l=1,2,···,2N+1；

则 F 在D上正规。

Liu等[6]去除了上述定理在 P2(C)中超平面第一个系数的限制，证明了定理4。

定理4F 是从D⊂C 到 P2(C)的一族全纯映射 ，H0={w0=0}，Hl={x∈ P2(C):x,αl=0}≠H0是P2(C)上处于一般位置的超平面，其中，αl=(al0,al1,al2)T,l=1,2,3,4,5。假定对于任意的f∈F满足下列条件：

a.f(z)∈Hl当且仅当 ∇f∈Hl,l=1,2,3,4,5；

则 F 在D上正规。

由定理4可知，定理4的证明不能被推广到P3(C)的情况，因此，引出定理5。

定理5F 是从D⊂C到P3(C)的一族全纯映射，H0={w0=0}和Hl={x∈P3(C):x,αl=0}≠H0是P3(C)上处于一般位置的超平面，其中，αl=(αl,αl,αl,αl)T,0123l=1,2,3,4,5,6,7,8。假定对于任意的f∈F满足下列条件：

a.f(z)∈Hl当且仅当 ∇f∈Hl,l=1,2,3,4,5,6,7,8；

则 F在D上正规。

在证明定理5之前，先说明一些概念。……