椭圆方程系数识别问题的正则化解

何 琴，王 谦

(兰州交通大学 数理学院，兰州 730070)

椭圆型方程[1-5]是偏微分方程领域内的一个重要分支，是解决很多实际问题的有力工具.从整个区域上的不精确值识别椭圆方程Dirichlet问题中的系数的反问题，这引起了很多学者的极大关注[6-9].由于这些问题是不适定的，已经有几种稳定的方法来解决他们，其中Tikhonov正则化方法是最著名的方法.虽然有很多论文专门研究这个问题，但是很少有人专门研究这些方法的收敛速度.文献[10-14]研究了Bregman距离意义下线性不适定问题的凸变分正则化的收敛速度，获得了全变分正则化的收敛速度.虽然有许多论文使用不适定问题的Tikhonov正则化，但很少有人专门研究收敛速度.Engl等[15]和Kanagaraj等[16]的论文专门讨论了上述问题的Tikhonov正则化.这些作者使用输出最小二乘法和非线性不适定问题的Tikhonov正则化，得到了某些源条件下的收敛速度.但是使用非凸泛函，很难找到全局极小值.在本文中，不使用输出最小二乘法，而是将Tikhonov正则化方法应用于求解原问题的新能量泛函，获得该方法的收敛速度.

本文讨论了具有齐次边界Dirichlet椭圆方程的系数识别问题，陈述如下：

问题考虑如下椭圆型方程系数识别问题

(1)

u=0,在∂Ω上.

(2)

其中:Ω是d,d≥1中具有Lipschitz边界∂Ω的开有界连通域，已知f∈L2(Ω)，c是未知系数，通过u在Ω上的观测值来反演c.利用能量泛函和Tikhonov正则化方法，可获得正则化解的收敛速度.构造如下泛函

(3)

其中：ρ>0是正则化参数；c*是c的先验估计.

1 问题设置

在本节中，主要证明了问题(1)～(2)存在唯……