一类二阶微分系统解的存在唯一性

康 慧 君

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

微分系统在物理学、 工程实践和生物学等领域应用广泛. 目前, 对于非线性微分系统边值问题的研究已取得了许多结果[1-9]. 文献[1]用不动点指数理论研究了二阶常微分系统

正解的存在性, 其中f1,f2∈C(I×+×+,+),I=[0,1],+=[0,+∞), 在非线性项f1,f2满足超线性、 次线性的条件下, 证明了该系统至少存在一个正解.

状态依赖时滞微分方程应用广泛, 如感染疾病传播模型[10]和人口模型[11]等.迭代微分方程是状态依赖时滞微分方程的一种特殊类型, 近年来得到广泛关注[12-20].例如: Eder[12]用收缩原理证明了一阶迭代微分方程

x′(t)=x(x(t)),x(t0)=t0,t0∈[-1,1]

x′(t)=f(x(x(t))),x(0)=0

局部解的存在性.

本文考虑非线性项中带有迭代项的二阶微分系统边值问题是否也具有解的存在性、 唯一性、 单调性, 用Schauder不动点定理研究一类二阶迭代微分系统边值问题

(1)

满足如下边界条件之一时解的存在性与唯一性：

x(a)=y(a)=a,x(b)=y(b)=b,

(2)

x(a)=y(a)=b,x(b)=y(b)=a,

(3)

其中x[2](t)=x(x(t)).

本文总假设:

(H1)f,g∈C([a,b]×4,);

(H2) 存在常数Ki,Li(i=1,2,3,4)满足

其中u1,u2,u3,u4∈;

(H3) 存在常数Mi,Ni>0(i=1,2,3,4)满足

其中ui1,ui2∈, 并且

1 预备知识

首先, 考虑二阶迭代微分方程

u″(t)=h(t,u(t),u[2](t)),

(4)

其满足如下边界条件之一:

u(a)=a,u(b)=b,

(5)

u(a)=b,u(b)=a,

(6)

其中h: [a,b]××→是连续函数, 由于迭代项u[2](t)=u(u(t)), 因此对于t∈[a,b], 满足a≤u(t)≤b.

设u∈C2[a,b]是问题(4)-(5)的解, 则可将边值问题(4)-(5)转化为不动点问题证明其解的存在唯一性.将方程u″(t)=h(t,u(t),u[2](t))两边从a到t积分, 得

(7)

将u(b)=b代入式(7)得

(8)

则有

(9)

将式(9)代入式(7)得

(10)

将式(10)写成如下形式：

结合式(10)和式(11)可得

因此u∈C2[a,b]是问题(4)-(5)的解.u∈C[a,b]满足积分方程

其中格林函数

同理, 将u(b)=a代入式(7)可得

因此u∈C2[a,b]是问题(4)-(6)的解.

其次, 考虑二阶迭代微分系统边值问题(1)-(2)或边值问题(1)-(3)解的存在性与唯一性……