一般线性李超代数在广义Witt李超代数中的中心化子

茅 丹, 郑克礼

(东北林业大学 理学院, 哈尔滨 150040)

李超代数[1]在物理学中用于研究超对称现象. Wess等[2]应用超对称理论提出了四维超对称理论. 目前, 关于非模李超代数的研究已趋于完善, 但模李超代数的研究还处于发展阶段[3]. 中心化子的概念源于群结构的研究[4], 李超代数是由李超群线性化得到的, 所以也存在中心化子. 目前, 关于李超代数中心化子的研究已得到广泛关注. 文献[5]研究了gl(0,2)在广义Witt李超代数上的中心化子; 文献[6]研究了sl(0,3)在广义Witt李超代数上的中心化子. 由于用伴随表示去体现一个李超代数, 能将李超代数视为其子代数的一个自然模, 所以中心化子能等价地视为零维上同调群.

本文受文献[7]中求解三阶矩阵李超代数中心化子的启发, 利用同调方法讨论一般线性李超代数gl(m,n)在广义Witt李超代数W上的中心化子, 通过计算分别给出gl(m,n)(m=1,2,…,a;n=1,2,…,b)在W上的中心化子,gl(m,0)(m=1,2,…,a)在W上的中心化子, 以及gl(0,n)(n=1,2,…,b)在W上的中心化子.

1 预备知识

根据文献[8], 素特征域F上的广义Witt李超代数结构为W=w⊕ω, 其中

这里Y0={1,2,…,a},Y1={1,2,…,b}.易知李超代数gl(m,n),gl(m,0),gl(0,n)的标准基分别为{XrDs,Xrdv,ζqDs,ζqdv},{XrDs},{ζqdv}(r,s=1,2,…,m;q,v=1,2,…,n).

定义1[9]设L是李代数,A是L-模,Hn(L,A)=Kerδn/(Imδn-1)称为L的系数在其模A上的n维上同调.

引理1[9]对任意的L-模A,H0(L,A)={a∈A|x·a=0,x∈L}.

2 中心化子CW(gl(m,n))

2.1 零维上同调H0(gl(m,n),w)

命题1gl(m,n)在w0上的零维上同调为

证明： 根据定义w0=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=1,k∈Y0〉, 设存在

满足[gl(m,n),f]=0, 其中ck,gjk∈F, |α|=1.则:

1) 当X(α)为X1,X2,…,Xm中任意一个时, 有

其中:r,s=1,2,…,m;q,v=1,2,…,n.因为D1,D2,…,Da是线性无关的, 所以由上述等式可得ck=0,gvk=0(v=1,2,…,n),gjr=0(r=1,2,…,m).此时结果为

〈ζjDk|j∈Y1{1,2,…,n},k∈Y0{1,2,…,m}〉.

2) 当X(α)不为X1,X2,…,Xm中任意一个, 且k∈Y0{1,2,…,m}时, 有

[XrDs,f]=0, [ζqDs,f]=0, [Xrdv,f]=0, [ζqdv,f]=0,

其中:r,s=1,2,…,m;q,v=1,2,…,n.所以此时结果为

〈X(α)-〈i〉Dk||α|=2,i∈{1,2,…,m},k∈Y0{1,2,…,m}〉.

综上, 结论得证.

命题2gl(m,n)在w1上的零维上同调为

证明： 由定义知,w1=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=2,k∈Y0〉.可……