一类Poisson-Nernst-Planck方程的边平均有限元计算

倪宇晖, 阳 莺

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院, 广西高校数据分析与计算重点实验室, 广西密码学与信息安全重点实验室， 广西 桂林 541004)

本文考虑一类Poisson-Nernst-Planck(PNP)数学模型, 它是由Nernst-Planck(NP)方程和Poisson方程耦合而成. PNP方程组在半导体[1]和生物分子[2]等领域应用广泛. 例如, 在半导体领域中, 半导体器件中的电流通常由电子和空穴两类载流子移动产生, PNP模型用于描述半导体载流子的运动规律, 通过计算方程可得到半导体内的电势分布和载流子浓度分布.

由于PNP模型是一个强耦合、 强非线性的偏微分方程组, 所以仅在极少数情形下能找到它的解析解. Gummel[3]首次用数值方法代替解析方法讨论了一维双极晶体管的电学性质, 从而开启了计算机数值模拟半导体器件的时代. 基于半导体器件复杂的空间结构和边界条件, 善于构造高精度格式的有限元方法[4]和满足流守恒的有限体积法[5]在实际应用中被广泛应用.

基于半导体的电学性质, PNP方程常有对流占优的特点, 而利用标准有限元方法对对流占优问题进行求解时易出现伪振荡. 对于一般的对流占优问题, 目前已有一些特殊的有限元方法, 例如Petrov-Galerkin有限元法[6]、 流线扩散有限元法[7]以及边平均有限元方法[8]等. 边平均有限元方法是一类迎风有限元方法, 其能自动选择迎风方向, 用该方法可使离散所得的刚度矩阵是M-矩阵. 本文针对半导体中的一类PNP方程构造一种边平均有限元离散形式. 在合适的网格假设……