Minkowski空间中含平均曲率算子的拟线性微分系统Dirichlet问题径向正解的唯一性

苗亮英, 何志乾

(1. 青海民族大学 数学与统计学院, 西宁 810007; 2. 青海大学 基础部, 西宁 810016)

0 引 言

Minkowski空间中给定平均曲率方程在微分几何和广义相对论中应用广泛, 例如相对论状态下的质点运动状态研究[1]及非线性电动力学理论中的Born-Infeld模型[2-3]等. 目前, 关于其正解的存在性和多解性研究已取得了丰富成果[4-13], 其中Coelho等[4]研究了一维Minkowski空间给定平均曲率型方程Dirichlet问题

(1)

正解的存在性和多解性, 用变分法和拓扑度方法得到了问题(1)至少存在1个、 2个、 3个正解的存在性, 其中f是一个Lp-Carathéodory函数.Gurban等[5]研究了两参数问题

(2)

径向正解的存在性, 用锥上的不动点理论, 得到了如下结果:

定理1[5]假设gi: [0,1]×[0,∞)2→[0,∞)是连续的, 关于变元s,t拟单调非减并满足对任意的r∈(0,1], 有

g1(r,s,t)>0,g2(r,s,t)>0, ∀s,t>0;g1(r,ξ,0)=g2(r,0,ξ)=0, ∀ξ>0,

文献[6-7]用分歧理论和Leggett-Williams不动点定理分别研究了问题(2)径向正解的全局结构以及至少存在3个甚至无穷多个径向正解的存在性. 但关于含平均曲率算子的拟线性微分系统Dirichlet问题径向正解的唯一性研究目前尚未见文献报道. 受上述研究启发, 本文考虑含平均曲率算子的拟线性微分系统Dirichlet问题

(3)

径向正解的唯一性, 其中fi∈C([0,∞),[0,∞)),i=1,2,B为N(N≥2)空间中的单位球.

本文总假设:

(H1)fi: [0,∞)→[0,∞)是连续函数且fi(i=1,2)不恒为零.

1 预备知识

考虑问题(3)径向正解的存在性, 令r=|x|, 则u(|x|)=u(r),v(|x|)=v(r), 问题(3)退化为如下混合型边值问题：

(4)

引理1[14]对任意的u∈C([0,1],[0,∞))满足当r∈[0,1] 时,u′(r)是递减的, 则

φ-1(s1)φ-1(s2)≤φ-1(s1s2)≤s1s2, ∀s1,s2∈[0,∞).

特别地, 当0

定义P是C中的锥, 其中P={u∈C[0,1]:u(t)≥0,t∈[0,1]}.定义PR={u∈P: ‖u‖0.对任意的u∈P, 定义如下两个解算子Ti:P→P(i=1,2):

(5)

(6)

由文献[9]可知, 每个解算子Ti(i=1,2)都是非负上凸函数, 结合引理1可知Ti:P→P是全连续算子.定义复合算子T(u)……