变·辨·编：小学数学空间思维培养路径的设计与实施
——以人教版五年级下册“长方体和正方体”单元教学为例

吕 梅

（浙江省杭州市下沙第一小学）

空间思维即空间思维能力。理解是一种快速、高效、复合式的高阶思维，对学生学习数学几何空间意义有着极其重要的作用。它能帮助学生利用所学知识，寻找有关空间问题，呈现完美的解决方案；对空间事物做出高效、迅速的判断，呈现完整的思维过程，从而让学生对几何图形的认知更为深刻，助力其空间思维能力得到更好的发展。

一、小学数学空间思维的问题解析

空间观念作为《义务教育数学课程标准》中的核心概念之一，是学生学习数学必备的基本技能。数学中空间观念与空间思维是多方面的整体思维，要求学生在点、线、面、体的基础上，通过多角度观察信息、思考探究、合作交流等，建立起空间观念。

然而我们的教学并不能完全达到这一目标。这是五年级期末评价卷中的一道试题：

全校240 名学生的得分率在50%左右，对学生的错误追本溯源，可以归结为学生对二维与三维、平面与立体之间转化缺失必要的能力。笔者认为造成这一现象的原因主要是教师在进行单元教学设计时，存在着如下问题：

（一）缺乏单元与课时设计的整体架构

当前很多教师尝试大单元设计，这有利于教师对教学单元知识的整体建构与整合，但部分教师在单元设计时，过多追求大单元的宏观目标，忽视对课时教学目标的细节敲打；缺少对课时内容的深度整合，大单元教学更多停留在表象上，导致学生对大单元学习内容浅化，学生对课时重难点把握不准。

（二）缺乏问题与特征转化的变式

在长方体、正方体教学中，教师在教学时未能及时将前期学习的平面几何知识与立体知识进行比较、整合、迁移；对于生活情境中的几何问题，只是围绕问题分析问题，没有将其与图形本质特征相联结，导致学生做一题只会一题。

因此，培养学生的空间思维，既要重视单元主题教学，又要变革教学方式。为此，笔者从长方体和正方体的单元大概念出发，整体规划各课时任务，借助凸显二维与三维的转换、厘清平面与立体的关系、沟通生活问题与图形特征的关系，合理利用新旧知识的关联，提出一条培养学生空间观念的路径。

二、小学数学空间思维培养路径的设计与实施

小学数学空间思维培养路径的设计与实施，既要着眼于大单元设计，优化各教学主题之间的联系，形成比较完整的逻辑思维，又要精心设计教学方式，通过“变·辨·编”等多种手段，激活学生的思维和探究热情，在深度学习与开阔视野中培养空间思维。

（一）“大单元设计”，主题融合，统整教学

所谓“大单元设计”，就是依据教材结构和单元特点，整合单元学习内容，形成序列、简约、高效的学习逻辑的一种方式。教师要根据课标要求、数学空间思维培养特点，深入解读学情，提炼单元的具体概念，凸显平面与立体的转换，整体规划单元学习任务。

1.基于学情，整体规划单元内容

精准了解学情和教材特点，合理、科学整合单元主题，是开展大单元教学的重要前提。在常规的“长方体和正方体”教学中，学生对于二维与三维的转换掌握得较弱。大单元设计可以通过主题整合、视图情境、切割与叠加等方法，帮助学生实现长方体、正方体与二维关系的转化；探究表面积和体积，通过猜想、验证等活动，发展学生的推理能力。为此，我们设计了“长方体和正方体”大单元整体教学设计。教师根据班级情况与教材结构，合理、科学地设计了大单元教学内容、目标和活动。如下表所示：

内容课时 学习目标 设计理念长方体的认识（第1 课时）1.认识长方体点、线、面的特征；2.理解点、线、面之间的关系通过制作长方体纸盒，在折叠想象中创设二维与三维的转化途径长方体视图与还原、切割与叠加（第2 课时）1.通过长方体的视图与还原、切割与叠加，加深对长方体棱、面匹配关系的再认识；2.初步感受面动成体，猜想长方体空间大小有关因素新增视图还原、切割叠加活动，创设二维与三维的转换途径长方体表面积（第3 课时）1.会利用长方体与长方形的关系解释并计算表面积；2.能依据长方体特征，灵活解决实际问题凸显猜想、验证、调整、再猜想的过程，强调操作与推理的融合正方体的展开图（第4 课时） 在展开与还原的想象中发展空间观念 新增正方体展开图，在想象、验证中创设二维与三维的转换途径长（正）方体的表面积（第5 课时）1.通过猜测、验证理解正方体表面积计算方法，并训练掌握计算公式；2.通过比较分析、动态演示，理解长方体表面积与正方体表面积计算方法的区别与联系分类比较长方体表面积与正方体表面积的异同，引导学生进行二维与三维的转换，并理解长方体各要素进行变化时转化成正方体的过程生活中的表面积问题（第6 课时）1.通过猜测、验证、动态课件演示，沟通长方体各类表面积与长方形平面之间的转化关系；2.通过自编、讨论、反思生活中的表面积问题，培养学生解决实际问题的能力学生在自编表面积问题中主动思考生活与图形之间的关系

本单元的学习内容是学生系统学习立体图形知识的起点，也是学生从二维空间向三维空间学习的开始。让学生充分理解表面积、体积、容积的概念，参与公式的推导过程，培养主动探究能力，能为他们后续学习其他立体图形的相关知识打下良好的基础。

2.围绕概念，增加两者转换途径

小学数学中很多概念及知识点之间存在着紧密的关联性与互通性。概念教学是小学数学的重点和难点，需要教师巧妙的设计、多元的思维来解决。正如长方体和正方体的教学，可以尝试通过“展开图”理解表面积概念，重点解决两者之间的转换关系。这既可以让学生了解“立体图”与“展开图”的关联性，又能让学生掌握“二维图形”与“三维图形”的变通性；既孕育了“空间思维”，又突破了难点，解决了重点。

（二）“变”式设计，深入推理，实现转换

在小学，空间观念以空间表象为主要表征形态，也包括一定的命题表征，并涉及空间知觉与初步的空间想象。因而，教师需要切入“变式设计”，引导学生进行探索，这样不仅有利于丰富他们的空间表象，提升其空间知觉，还能通过观察、比较等方式来提升空间想象能力。

1.切—割—叠，融合设计，实现多样转换

五年级学生学习主体思维仍然是以具体形象思维为主。因此，在教学中，教师要通过系列操作活动，使图形由“静态”向“动态”转换，由“平体”向“立面”转换。通过学具运用和“切—割—叠”实践活动，体会长方体、正方体与其六个面变与不变的关系，揭示图形之间的内在规律。帮助学生在头脑中建立“体切成面、面动成体”的模型，有助于学生对空间的理解和应用。

活动中，学生通过观察、操作、合作交流，进一步架构起面与体的桥梁，自然联想到面与体具有互相转换的关系，建立了空间观念，体会了平面图形与立体图形的转换。

2. 想—画—验，操作推理，实现精准转换

空间观念的建立就是要使学生在头脑中具有清晰的几何形体表象和与之相对应的实物形象，实现二维与三维之间的精准转换。教师尝试“想—画—验”等方式，通过学习体验和动手操作，增进数学理解，达成空间思维的转化。如“正方体展开图”一课中的“想—画—验教学主线”的设计，教师提供正方体纸盒、正方体展开图等材料，学生通过观察正方体模型和展开图，思考、猜想，形成初步的表象；经历验证、分析、反思，总结出正方体展开图与正方体之间的联系，理解立体与平面、二维与三维之间的转化。

通过想、画、验有机融合，动手操作与推理想象互相促进发展，特别是借助操作进行反思、调整的过程，学生对平面与立体进行了精准的转化。

（三）“辨”式设计，深入探究，厘清关系

有比较就有思考，有比较就有思维的碰撞。课堂教学中比较、辨析可以起到画龙点睛的作用，要帮助学生在比较中明晰数学本质，在比较中深化认知相关图形。

1.在辨析中把握本质

辨析是数学思维的重要内容，也是空间思维的能力指向。学生对立体图形的体积和面积存在认知误区，容易把体积和面积混淆，其根源在于学生对面积与体积的认识不足。辅助辨析方法，结合生活情境，引导学生探讨面积与体积的本质差异，能够有效加强学生对数学本质的认知，强化学生的空间思维，使其正确掌握面积和体积的用法。

设计长（正）方体体积与表面积的关系的探究问题：一个体积为64 立方厘米的长方体会是怎么样的？一个神秘的长方体礼物的体积是 64立方厘米，那么包装这个神秘礼物至少要多大的纸呢？目的是让学生深入探究，对数据进行有条理的记录、分析、整理，最后得出正确的结论。

学生根据探究问题的要求，进行猜想、验证，他们逐渐发现事实与猜想存在着差别。通过问题的探究、正反对比、辨析，有效地化解了学生对长方体、正方体体积与面积的认识误区，同时也使其掌握了图形面积与体积上的本质差异。

2.在贯通中体会实质

学会触类旁通、融合贯通，是数学思维培养的重要指向。如长方体、正方体的表面积计算方法不是孤立的，两者本质上是一致的，都是求六个面的面积之和，但学生仅仅认识到此还是不够的，还须通过探寻两种图形的通用方法，解题时需要长方体、正方体侧面积这一概念。借助展开图推导并理解：长方体、正方体表面积=侧面积+两个底面积。借助展开图引导学生思考：长方体表面积计算方法与正方体表面积计算方法有什么不同？能否用一个计算公式计算长（正）方体的表面积？借助长方体、正方体与其展开图的对比，学生会发现：“底面周长×高+两个底面积”就是计算表面积通用公式。

通过验证、反思，在计算长方体、正方体的表面积时，不只停留在六个面面积的相加上，在解决问题时能根据实际情况灵活运用所学知识。

（四）“编”式设计，深探差异，达成转换

教师通过引导学生结合生活情境，进行由浅入深、由单一图形计算到综合性问题的编题训练，让学生灵活地运用课堂上所学知识，仿编、创编，形成举一反三、触类旁通的创新能力，在编题中发展空间思维。

1.我选我做，进阶练习，在挑战中明确本质

进阶思维是数学思维培养的重要方法。设计有梯度的练习，能够让学生在不断深入思考中获得进阶式学习。如设计“鱼缸中的数学问题”活动，教师提供数学信息、设计情境和进阶学习任务：一长方体鱼缸，长8 分米、宽4 分米、高5 分米，鱼缸内水面距离缸口1 分米。课前请学生自编关于鱼缸的数学问题，教师把自编题分类整理成表，学生自己选择难度挑战解决。学生通过编题、解题、比较一系列进阶式练习，体会到复杂的图形问题背后都能剥离出长方体的基础知识。

2.紧扣错因，创编学单，在“反思”中达成转化

寻找错因、学会反思，是空间思维培养的重要举措。在阶段学习或单元学习后，通过设计自我反思单、反思错误点、自编纠错题等，引导学生在分析错因、梳理正确思路、自编新问题的过程中，不断强化图形与生活的联系，在反思中提升数学思维能力。

如本单元结束阶段设计活动“我是复习小老师”，目的是让学生通过对长（正）方体单元复习探究、反思，进一步对单元知识进行提炼、反思、总结。学生通过小组合作，呈现了单元思维导图、回顾分析单元典型题例、单元错题分析以及创编的习题等。

进行单元学习的反思，在梳理单元知识树的同时，反思自己在单元学习中有关生活问题的典型错题，把问题与图形进行多次的联系。学生可以根据自己或同学错误率高的题进行创编，对于自己设计的题印象就深刻了。

三、结语

通过研究，笔者在提炼单元具体概念、整体规划单元学习内容中提高了教材解读的能力。在多维变形中丰富实践与推理的体验，在多样辨析中厘清二维与三维的联系与区别，在花样编题中加强图形特征与生活实际的联系的教学中，满足不同层次学生的不同需求，让不同层次的学生获得相应的发展，帮助学生建立起正确的空间思维观念，提高学生解决实际问题的能力。