排队论在地铁自动售检票系统中的应用

赵华伟，魏子越，张炳森，边 毅

（1.北京市地铁运营有限公司，北京 100044；2.北京城建设计发展集团股份有限公司，北京 100037；3.北京市轨道交通建设管理有限公司，北京 100068）

近年来，随着国内经济的快速发展，作为城市交通建设中重要的组成部分——轨道交通建设得到了快速的发展。城市轨道交通是一种安全、舒适、快捷、准时、环保的大能力客运交通工具。轨道交通网络的形成，将极大地方便人们的出行。而自动售检票（AFC）系统在轨道交通中已经是不可或缺的重要部分，成为体现和衡量轨道交通信息化水平的重要标志。AFC系统是一种基于计算机、通信、网络、自动控制等技术，实现轨道交通售票、检票、计费、收费、统计、清分、管理等全过程的自动化系统。目前，国内在建和已建的地铁中，都配置了AFC系统。

1 常规方法计算AFC终端设备数量

1.1 AFC设备数量确定的重要性

地铁AFC终端设备一般包括自动售票机（TVM）、半自动售票机（BOM）、自动检票机（GATE）等。自动售票机设于车站非付费区，用于乘客自助式购买单程票，可接受硬币、纸币等支付方式，并在乘客售票操作时能以纸币或硬币型式找零。半自动售票机是辅助售票员来处理各种售票和问询业务，包括为乘客提供售票、车票分析、充值、替换、更新、退款、挂失、查询等功能。自动检票机包括进站检票机、出站检票机、双向检票机和宽通道检票机4种，其可对乘客手持的各类车票进行读写操作以及合法性确认，并能在乘客出站时回收相应车票或者扣除车费，同时显示余额。

在地铁AFC系统设计中，TVM、BOM、GATE的数量及位置确定是至关重要的问题。因为这直接影响着地铁的服务质量，在强调以人为本的今天，地铁作为城市大容量交通的主体，不仅要保证运输量，同时还需保证服务质量。轨道交通服务质量的主要内容有方便性、迅捷性、舒适性、经济性。舒适性除了满足乘客乘坐舒适外，还要减少乘客进站、出站排队等待时间。AFC终端设备都是直接面向乘客的人机界面，人们在设备上进行操作时都需要一定的时间。尤其在早晚高峰时段，这些设备的服务能力达到饱和却仍满足不了乘客的持续增多，排队长度大大加长，乘客等待时间也相应增加，从而影响地铁服务质量。

1.2 常规方法计算AFC终端设备数量

如表1所示为某站早、晚高峰时段双向上下车人数，将此人数乘以高峰小时系数K，取K=1.2，可以得到客流量，如表2所示。

表1 典型车站早晚高峰客流量Tab.1 Statistics of morning and evening peak passenger flow of a typical station

表2 乘以高峰小时系数后典型车站早晚高峰客流Tab.2 Morning and evening peak passenger flow table of a typical station multiplied by the peak hour coefficient

在早、晚高峰小时客流中，取其上、下车人数的较大值，将其平均分配到站厅4个方向的出入口（在实际情况中，可以按照各出入口的预测客流百分比分配）。下面先来计算进站检票机的数量：

其中：A表示设备裕量，取A＝1.2；

t表示时间60 min；

B表示设备的通行能力，取B＝25人/min；

N表示进站检票机的数量。

代入数值，得出N＝2.224 4,将其向上取整，可得N＝3。

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出站检票机的计算方法与进站检票机的计算方法类似。但是前者还考虑了列车的行车间隔，主要是出站客流为分时集中到达，为了满足乘客在一定的时间里能够顺利出站，而不至于下次列车到达的乘客与本次列车的乘客发生拥堵，对地铁的安全造成影响。出站检票机的数量计算如下：

拟定列车行车间隔为3 min，乘客一次性出清时间设为1.5 min，设备裕量A可取A＝3/1.5＝2；代入数值得出N＝3.86，将其向上取整，得N＝4。将之前计算的进站检票机与出站检票机都乘以2，可得出该车站最后配置的进站检票机的数量为6通道，出站检票机的数量为8通道。

从以上的计算方法可以发现其中存在的问题主要是：只考虑了乘客总的出清情况，不能预计排队的队长、等待时间等影响服务质量的重要信息。

2 排队论方法计算AFC终端设备数量

2.1 排队论计算AFC终端设备数量的可行性

排队论（Queueing Theory）又名随机服务系统理论，是研究拥挤现象的一门数学学科，它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决系统的最优设计和最优控制。排队是日常生活和工作中常见的现象，例如：上下班坐公交车，等待公交车的排队；病人到医院看病形成的排队；在售票处买票形成的排队；也有一些无形的排队，比如多人同时打电话订购飞机票等。一个排队系统的基本模型如图1所示。

图1 排队系统的一般模型Fig.1 General model of queuing system

排队系统可以分为3个部分：输入过程、排队规则和服务机构。常见的输入过程有定长输入、泊松输入、爱尔朗输入。其中泊松输入是应用最为广泛的。排队规则是指服务是否允许排队，乘客是否愿意排队，在排队等待的情形下服务的顺序是怎么样的，这样可以分为损失制、等待制和混合制。服务机构涉及服务台的数目和乘客所需服务时间服从的概率分布等。在地铁AFC系统中，乘客进站、购票、查询等操作都是需要一定时间，而当客流量增大时，排队现象自然发生。这样排队现象产生了服务质量提高与系统设备利用率提高之间的矛盾，换言之，产生了乘客的需求和服务机构规模之间的合理平衡问题。如何合理地设计与控制随机服务系统，使得它既能满足乘客的需要，又能使服务机构的花费最为经济，这是排队论的研究目的。所以在地铁AFC系统设计中，应用排队论来解决优化问题非常必要，因为它不仅可以计算出最优设备数量，还能计算排队长度、乘客等待时间等重要服务质量指标，为决策者分析和改进排队系统的性能提供有效数据。

2.2 排队论计算AFC终端设备数量的方法

乘客到达和离开分别构成排队系统的输入与输出过程流。到达分布和离开分布确定了到达系统和离开系统的乘客数这两个随机变量的分布。求解排队系统有关数量指标问题，首先要确定乘客到达流的概率分布，即在一定的时间间隔内来k个乘客的概率是多大。其次是要确定乘客离开流的概率分布，即在一定的时间内服务完k个乘客的概率是多大。由此可以得出排队论基本模型，常用的模型用符号表示有：M/M/1/∞、M/M/C/∞、M/G/1/∞等。其中M表示乘客到达时间服从负指数分布，C表示服务台的数目，G表示服务时间服从一般分布。由于受数据资料的限制，不妨把乘客到达地铁乘车的随机事件流，看为近似泊松流，排队模型为M/M/C/∞，因为该随机事件流近似服从如下3个特点。

1）平稳性

平稳性是在一定时间间隔内，来到服务系统有k个顾客的概率仅与这段时间区间隔的长度有关，而与这段时间的起始时刻无关。

2）无后效性

在不相交的时间区间内顾客到达数是相互独立的。即在时间区间[a，a＋t]内来到k个顾客的概率与时刻a之前来到多少个顾客无关。

3）普通性

指在足够小的时间区间内只能有一个顾客到达，不可能有两个及两个以上顾客同时到达。

具有以上3个特点的随机事件流，称为泊松流，其概率分布特性如下：

公式（3）中：P(k)——在计数间隔t内到达k个乘客的概率；

λ——单位时间的平均到达率或单位距离的平均到达率；

t——间隔时间或间隔距离；

e——自然对数的底，取值为2.718 28。

在统计平衡的条件下，可以得到平均队长为：

其中ρ=λ/μ，μ为服务时间是负指数分布的参数。建立了确定的排队模型后，可以代入具体数值进行计算相关数据。在表2中早高峰小时上车人数为5 561人，服从参数λ＝93人/min的Poisson流，乘客通过进站检票机的服务时间服从参数μ＝25人/min的负指数分布，乘客进入地铁站，其选择任何一个队列排队的机率是相等的，那么通过计算可以得出：

由上可以看出，当进站检票机通道数目为5时，其相关服务质量指标要明显优于通道数目为4时，而当进站检票机通道数目为6时，其布置显得比较浪费。而此客流数据由前面常规方法计算得出的进站检票机为6通道，比排队论方法多1通道。所以采用排队论方法不仅能直观体现乘客服务质量，较科学地布置自动售检票设备数量，且相对于常规方法更节省投资。同理按照类似的方法，可以计算半自动售票机、自动售票机的合理数量。

3 结论

采用常规方法计算终端设备数量时，只需要高峰小时的客流量、设备平均服务时间等统计数据；而采用排队论方法时，需要较多的统计数据来拟合、确定乘客到达所服从的分布、设备服务时间所服从的分布等，因此前期的数据预测、统计非常重要。

在地铁AFC系统设计中，常规方法计算终端设备数量虽然需要的数据较少且计算过程简单，但其能得出的可供决策用的数据有限。而采用排队论方法能方便地计算出排队长度、服务时间等重要指标，对AFC终端设备数量的配置以及设备位置的布置都有很强的指导性。