抓牢数学本质 解决实际问题

陈卓

利用锐角三角函数解决实际问题是本章的难点。说它是难点，是因为要把实际问题归纳为直角三角形中的边、角之间的关系，而且要根据实际问题选择恰当的方法解直角三角形。锐角三角函数体现的是角度与三角函数值之间一一对应的函数关系，而初中阶段仅仅是围绕函数值，对于函数却没有过多的研究和说明。只有正确理解锐角三角函数概念，才能正确理解直角三角形中边、角之间的关系，才能利用这些关系来解直角三角形，进而解决实际问题。

一、坡度、坡角问题

坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫作坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1∶m的形式。

坡面与水平面的夹角α叫作坡角，坡度i与坡角α之间的关系为i=[hl]=tanα。

在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构造直角三角形，坡角即是一锐角，坡度就是这个锐角的正切值，水平宽度和铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。

例1 某市为实现5G网络全覆盖，2020—2025年拟建设5G基站7000个。如图1，在坡度为i=1∶2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直。小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°。（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°[≈45]，cos53°[≈35]，tan53°[≈43]）

（1）求D处的竖直高度;

（2）求基站塔AB的高。

【解析】（1）如图2，延长AB交水平线于点F，过点D作DE⊥AB于点E，DM⊥CF于点M。

∵斜坡CB的坡度i=1∶2.4，

∴[DMCM]=[12.4]，即[DMCM]=[512]。

设DM=5k，则CM=12k。在Rt△CDM中，CD=13。由勾股定理，得CM2+DM2=CD2，即（5k）2+（12k）2=132，解得k=1，∴DM=5，CM=12，即D處的竖直高度为5米。

（2）斜坡CB的坡度i=1∶2.4，设DE=12a，则BE=5a，

又∵∠ACF=45°，∴AF=CF=12+12a，

∴AE=AF-EF=12+12a-5=7+12a。

在Rt△ADE中，DE=12a，AE=7+12a。

∵tan∠ADE=tan53°[≈43]，

∴[7+12a12a]=[43]，解得a=[74]，

∴DE=12a=21，AE=7+12a=28，BE=5a=

[354]，∴AB=AE-BE=28[-354]=[774]，即基站塔AB的高为[774]米。

例2 如图3，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1∶0.5，坝底AB=14m。求坝高。（参考数据：sin37°[≈35]，cos37°[≈45]，tan37°[≈34]）

【解析】如图4，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N。

由题意得tan∠DAB=[DMAM]=2。

设AM=x，则DM=2x。

∵四边形DMNC是矩形，∴CN=DM=2x。

在Rt△NBC中，tan37°=[CNBN]=[2xBN]=[34]，

∴BN=[83x]。

∵x+3+[83x]=14，∴x=3，

∴DM=6，即坝高6m。

二、仰角、俯角问题

仰角是向上看的视线与水平线的夹角;俯角是向下看的视线与水平线的夹角。

解决此类问题要了解角之间的关系，找到已知和未知相关联的直角三角形。当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形。当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决。

例3 某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图5所示。在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度。

【解析】设BC为x米，则AC=（20+x）米。

由条件知∠DBC=∠AEC=60°，DE=80。

在直角△DBC中，tan60°=[DCBC]=[DCx]，

则DC=[3]x，∴CE=[3]x-80。

在Rt△ACE中，tan60°=[ACCE]=[20+x3x-80]=[3]，解得x=10+40[3]，即小山BC的高度为（10+40[3]）米。

三、方向角问题

一般的方向角问题是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。

在解决有关方向角的问题时，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用“两直线平行，内错角相等”或一个角的余角等知识转化为所需要的角。

例4 如图6，某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+[3]）海里的圆形海域内有暗礁。一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20[2]海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上。

（1）求A、P之间的距离AP;

（2）若海监船由B处继续向东航行，是否有触礁危险？请说明理由。如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东小于多少度的方向航行能安全通过这一海域？

【解析】（1）如图7，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C。

根据题意，得∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=[202]。

设PC=x，则BC=x。在Rt△PAC中，

∵tan30°=[PCAC]=[xx+202]=[33]，

∴x=[106]+[102]，

∴PA=2x=[206]+[202]。

（2）∵PC-10（3+[3]）=[106]+[102]-30-[103]=10（[3]+1）（[2]-[3]）<0，

∴有触礁的危险。

设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE=10（3+[3]）海里时，有sin∠PBE=[10（3+3）2·PC]=[10（3+3）20（3+1）]=[32]，

∴∠PBD=60°，∴∠CBD=60°-45°=15°，

则90°-15°=75°，

即海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域。

通过几个例题的研究，我们发现，用锐角三角函数解决实际问题的本质就是解直角三角形。我们要分辨：在哪个直角三角形中求解？没有直角三角形该怎么办？该怎么构造直角三角形？同时，我们在用锐角三角函数解决实际问题时还要学会恰当地利用方程思想帮助解题。

（作者单位：南京师范大学附属中学江宁分校）