找准模型，轻松解决锐角三角函数问题

周艳

面对较为复杂的锐角三角函数问题，同学们是不是觉得千头万绪，不知从何下手呢？解决锐角三角函数问题的关键是在问题情境中抽象出直角三角形，通过解直角三角形来解决问题。因此，如果我们能找准模型，就能很快理清解题思路，解决问题。

模型一：具有一条公共直角边，且两个直角三角形在公共边的两侧

模型特征：如图1，在△ABC内部作高，将普通三角形分成两个具有公共边的直角三角形，结合图形可得与边相关的数量关系：①BC=BC（公共边），②AC+CD=AD。

【教材链接】（苏科版数学教材九年级下册第110页例3）如图2，在△ABC中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°，求AB。

【解析】为了保留完整的30°和45°，可以过哪一个顶点作高，以便得到具有公共边的两个直角三角形，你想到了吗？辅助线添加方法如图3，在Rt△ACD中已知“一边”和“一角”，利用三角函数，易得CD=AC·sin30°=4，AD=AC·cos30°=[43]，BD=[CDtan45°]=4，AB=AD+BD=[43]+4。

模型二：具有一条公共直角边，且两个直角三角形在公共边的同侧

模型特征：如图4，在△ABC外部作高，通过高将原三角形转化为两个具有公共边的直角三角形，同样，结合图形可得与边相关的两个数量关系：①AD=AD（公共边），②BD-CD=BC。

這一模型也可以看成由“模型一”经过翻折得来，如图5经过翻折得到图6。

【教材链接】（苏科版数学教材九年级下册第115页问题3）小明在某处利用测角仪观测气球的仰角为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，此时观测气球的仰角为40°。如果测角仪高度为1m，那么气球的高度是多少（精确到0.1m）？

【解析】根据题意，画出相应图形如图7所示（其中点A、B、C分别表示小明两次观测点及气球的位置）。由“模型二”，得到①CD=CD，②AD-BD=50。结合已知27°、40°和CD（公共边），在两个直角三角形中，利用三角函数，分别用含有CD的代数式表示出AD=[CDtan27°]，BD=[CDtan40°]，将它们代入②中，建立关于CD的一元一次方程，解出CD，最后求出CD+1即可。

【中考链接】（2020·江苏南京）如图8，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C。一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°。求轮船航行的距离AD。（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75。）

【解析】为了保证45°和37°角的完整性，可过点D作DH⊥AC于点H，如图9所示。不难看出此题是“模型一”与“模型二”的结合。由线段DH右边的“模型二”可得①DH=DH，②CH-BH=6，沿用上题思路，求出DH，最后在Rt△ADH中，利用26°角的三角函数值求出AD。

我们只有善用模型、用准模型，才能在解决与锐角三角函数相关的问题时达到事半功倍的效果。

（作者单位：江苏省南京市齐武路初级中学）