利用“一个锐角三角函数值”解决问题

吴琨

有时题目中给出一个锐角的三角函数值，如已知sinA=[12]，或已知sinA=[13]，我们该如何运用这一条件解决问题呢，请看以下两种情形。

一、给出一个特殊角的三角函数值。

例1 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，sinA=[12]，则AC的长为（ ）。

A.2 B.3 C.[3] D.[23]

【解析】在Rt△ABC中，由sinA=[12]，可知∠A=30°，则AC=ABcos∠A=[23]。故选D。

【点评】此题就是从特殊角的三角函数值来突破，知道了∠A是30°，接下来可以利用30°的余弦或正切解决问题，也可以获知∠B是60°，利用∠B的正弦、余弦或正切解决问题。

二、给出一个非特殊角的三角函数值

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=[13]，BC=2，则AB等于（ ）。

A.[23] B.4 C.[42] D.6

【解析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=[BCAB]=[13]，把BC=2代入，得[2AB]=[13]，解得AB=6。故选D。

【点评】本题就是利用锐角三角函数的定义，把已知量代入，然后变形、求解。

例3 如图2，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα=[43]，BB'=1m，则cosβ=（ ）。

A.[45] B.[35] C.[34] D.[25]

【解析】在Rt△ABC中，由tanα=[43]，可设AC=4x，那么BC=3x，根据勾股定理得AB=5x，那么A′B′=AB=5x。在Rt△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x-1）2+（3x+1）2=（5x）2，求出x=1，∴A′C=3，B′C=4，A′B′=5，∴cosβ=[B′CA′B′]=[45]。故选A。

【点评】本题是将条件“tanα=[43]”运用为“设AC=4x，那么BC=3x”，这其实也是利用了锐角三角函数的定义，引入字母x，使条件中两条线段的“比”变成了4x和3x。

例4 如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是AB边上一点，若tan∠DCB=[12]，则线段DB的长度为（ ）。

A.4 B.3 C.[22] D.[2]

【解析】作DE⊥BC于点E，如图4。

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，AC=BC=6，∴BE=DE。

∵tan∠DCB=[12]，∴[DECE]=[12]，

∴CE=2DE=2BE，

∴BC=CE+BE=3BE=6，

∴BE=2，∴BD=[2]BE=[22]。

故選C。

【点评】已知中∠DCB不是图中某个直角三角形的锐角，那么该如何运用条件“tan∠DCB=[12]”呢？通过作辅助线，构造Rt△DEC，进而根据“tan∠DCB=[12]”及锐角三角函数的定义得到“CE=2DE”。

（作者单位：江苏省南京市上元中学）