第一类Fredholm积分方程分段泰勒级数展开法

刘雪铃, 黄 静

(亳州学院 电子与信息工程系， 安徽 亳州 236800)

0 引言

1782年Laplace提出的Laplace逆变换以及1811年Fourier提出的Fourier反演问题， 都属于积分方程[1]. 而近年来， 随着社会的飞速发展， 积分方程在数学、 物理等领域扮演着愈发重要的角色， 引起了学者们的广泛关注[2-5]. 随之而来的关于积分方程的数值求解也显得格外重要. 对于一维的Fredholm积分方程和Volterra积分方程， 国内外学者也进行了大量的研究. 文献[6]利用再生核， 构造了Fredholm积分方程的Hermite数值解， 并证明解的存在唯一性. 文献[7]利用光滑化方法给出第一类Fredholm积分方程的稳定数值解， 并通过数值算例表明该方法的有效性文献[8]利用Legendre小波函数获得了第一类Fredholm积分方程的数值解， 关于这方面的成果可见文献[9-11]. 文献[12]利用泰勒展开式得到第二类Fredholm积分方程的数值解并证明了解的存在性. 受到以上内容的启发， 本文利用泰勒展开式得到了第一类Fredholm积分方程的数值解， 并通过数值实例来证明方法的可行性与有效性.

1 分段泰勒级数展开法

一般来说， 第一类Fredholm积分方程可以写成

(1)

这里的f(x)为定义在区间[a,b]上的已知连续函数,φ(t)是未知函数. 接下来， 我们有两种数值方法， 一种是对(1)式进行积分， 另一种方法是对(1)式进行微分. 为了方便起见， 我们把前者称为积分法， 后者称为微分法.

1.1 积分法

接下来， 我们对(1)式进行i(i=1,2,…,m(n+1)-1) 次积分可得：

(2)

对(2)式交换积分顺序

(3)

为了书写方便我们有以下假定：

(4)

(5)

则(2)式和(3)式可以表示为

(6)

其中i=1,2,…,m(n+1)-1. 下面选择一系列的间断点a=x01). 我们选择等距的间断……