深入剖析概念 揭示公式本质谈谈提高学生的解题能力的途径

付金和

“问题是数学的心脏”.在中学数学学习中，掌握数学就意味着解题，那么中职学生的解题能力到底怎么样呢？让我们来看看下面的镜头：学生在做练习，遇上了稍有变化的或没有见过的题，不少学生叫喊不会做，或者忙于翻书，试图找到同类题，以便依葫芦画瓢;或者凝神苦思，却不得其解;或者干脆放弃这道题……

难道题目真的如他们想象的那样难，以至超出了范围？不是！这通常反映出学生对数学概念没吃透，公式定理本质没理解，导致无法用所学的知识解决面临的问题，即知识未转化为能力，也即人们常说的解题能力差.针对这一问题，笔者尝试从下列途径来提高学生的解题能力：

一、深入剖析概念，加强对比教学，努力让学生参与概念的形成过程，使学生理解概念本质，促进知识正迁移

在《空间直线与平面》这一章中，异面直线的概念是难点，但又必须弄清楚，否则影响后续内容的学习.笔者在教学中是这样做的：从实际生如活中不相交且不平行的两直线入手，指出空间两直线的第三种位置关系：不相交且不平行，称为异面，那么如何下定义呢？这里可先引导学生根据已有知识来尝试下定义，然后教师总结板书.这样做，既调动了学生的积极性，发挥了其主体作用，又通过学生尝试→教师点拨→再尝试→再点拨→结论的教学过程，使学生参与概念的形成过程，从而概念的本质被逐步揭示出来.同时，上述过程又是偏离本质→订正→再偏离→再订正的过程，正反对比强烈，学生的印象也较深刻.另外板书概念时将关键字词加上着重号不失为加深学生印象的一种好办法.实践证明，这样做效果很好，学生不仅记住并且理解了概念，从而对于辨析概念一类的问题，一般都能迅速准确作答，达到了教学目的。

二、加强公式变式教学，让学生从多侧面认识理解公式，从而灵活应用解题

有这样一道题：

不查表求值tan12°+tan33°-（1-tan12°tan33°）

不少学生见到此题后，百般思索，就是想不到从何下手.的确，12°、33°均非特殊角，其三角函数值只能查表，但不合题意.怎么办？仔细看看，12°+33°=45°是特殊角，且题中涉及tan12°+tan33°与tan12°tan33°，联想到两角和的正切公式，变形即可得原题结果.这里，不是照搬公式，而是利用公式的一个变形。

一般地，在创设合适的问题情境导出公式后，在公式的应用教学中要特别重视公式的逆用和变式应用.我们知道，每个公式都有双向功能，从左到右是顺用，从右到左是逆用，而公式推导一般是从左到右，这种思维定势使得学生只注意公式的顺用，而难以联想逆用和变式应用.因此我们在教学中要求学生掌握公式的形式结构及语义内容，真正理解公式的本质，并有意识地多举逆用及变式应用方面的例子，使学生应用公式解题时，思维变得灵活，能迅速根据需要联想如何应用公式。

三、在教学中尝试让学生说题，即让学生把审题、分析、解答和回顾总结的思维过程按一定准则说出来，促使学生暴露面对题目的思维过程，通过老师引导，同学补充，系统地把握解题过程，提高分析思維能力，从而促进解题能力的提高

根据数学学科的特点和学生的能力特征，笔者在高三数学教学中对学生说题进行了一些研究和尝试，觉得一般的说题包括以下几个方面：说题目中的知识点及联系、说解题的思路和方法、说解题后的检查反思、说解法的变化、说题目的引申推广等.下面举实例加以说明：

例： 公差d不为0的{an}等差数列中，a1、a2、a6成等比数列，求该等比数列的公比q.

㈠、说知识点 本题着重考查等差与等比数列的定义和通项公

式.

㈡、说解题思路 由这三个数成等比数列有（a2）2= a1a6.

于是有 （a1+d）2=a1（a1+5d）

解得 d=3a1或者d=0

所以 q=4或者q=1

㈢、说检查 题目中d≠0，于是q=4（q=1舍去）.

㈣、说反思 上述解法是从等比数列这一条件入手的，能否从等差数列这一条件入手呢？学生尝试后发现这一想法是可行的：

易知a2=a1 q=a1+d①，a6=a1 q2=a1+5d ②

于是②-①×5得 q=4或者q=1（舍去）

㈤、说解题总结

一般地，求比值的问题，应把有关的两个量都用另一个量表示出来，解题中应注意消元的方法.

又例： 若函数f（x）=102-x+a（a为常数），且f-1（12）=1，则a= .

按照以上分析，学生不难得出两种解法，一是直接求出反函数，再求a的值;二是根据反函数与原函数图象间的关系知f （1）=12，从而易得解.经过上述思维过程，学生再遇到此类问题就会灵活地选择解法了。这样，我们不仅教会了学生知识，更重要地是教会了学生方法。

四、培养和提高学生的基本数学能力

经常有这样的例子：题目不太难，学生也会做，就是速度太慢或者解题过程有少许疏漏.前者反映学生的运算能力不强，缺乏技巧，不明算理，不够熟练;后者反映学生粗心大意，更多的时候是考虑问题不全，对分类讨论不好.针对这些现象，笔者在教学中采取如下措施：

㈠、通过前述一、二、三使学生理解掌握数学概念公式性质等基础知识.

㈡、提高学生运用性质与公式来推理运算的能力，加强运算训练.

如等比数列{an}中，公比q=2，且a1a2…a30=230，求a3a6…a30的值.

分析：由题意有a1a2…a30=（a1a30）15=230，则a1a30=22，

a3a6…a30=（ a3a30）5=（a1a30q2）5=220

这样做，简洁明了.本题若先求a1亦可，但运算会很繁琐.

㈢、加强分类讨论练习，这方面的例子很多，如指数函数、对数函数、三角函数、二次曲线、排列组合等等。

综上，深入剖析概念，揭示公式本质，学生的分析解题能力将会得到很大提高，学习的精神面貌将焕然一新。