数学问题表征对学生问题解决的影响及教学启示

[摘 要] 问题表征是问题在学习者头脑中的呈现方式。数学问题解决的前提条件是学习者能够对数学问题进行准确的表征。准确表征的外在表现即学习者在对数学问题的本质进行深入挖掘的基础上，能正确把握信息、深度提炼信息、用不同的方式整合并提取信息，以确定解决问题可能用到的方法。在课堂教学中注重对学习者数学问题表征能力的培养是完善和发展学生认知结构、提高数学解题能力的重要途径。主要论述了两个方面的内容：一是问题表征对学生数学问题解决能力影响;二是提出了以培养和提高学生问题表征能力为核心的数学课堂教学策略，如因材施教、多元化表征和克服思维定式等。

[关键词] 数学问题表征;问题解决;图式

[基金项目] 2015年度江苏省教育科学重点课题“慕课视域下的高校数学教学改革研究与实践”（B-b/2015/01/013）

[作者简介] 李艳利（1978—），女（蒙古族），内蒙古赤峰人，硕士，江苏师范大学教育科学学院（教师教育学院）讲师，主要从事数学课程与教学论研究。

[中图分类号] G424.1 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）01-0131-04 [收稿日期] 2021-05-06

一、问题的提出

德国数学家希尔伯认为：“问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。”我国学者章建跃提出：“提升学生问题解决的技能是数学教学的核心。”关于数学问题解决的研究，早期阶段关注点是数学问题解决的过程、模式建构和应用技能三个外在的层面。随着认知心理学和脑科学的发展，近年来越来越多的学者将问题解决研究的焦点转移到其内在机制上，尤其是侧重问题解决阶段的表征、解题过程中的元认知分析等。

问题表征是解决数学问题的核心环节，学习者的问题表征能力极大地影响问题解决的结果。因此，解决问题之前首要且必需的就是合理地表征问题。心理学家研究了学习者在复杂问题空间中的认知情况，指出问题解决是在一系列规则的基础上，学习者能灵活选取并恰当使用各种问题表征的形式，将问题的初始状态转化为目标状态的过程。

（一）表征和问题表征的概念

从词性的视角看，表征有两种词性，两层含义：其一作为动词，其意义是对事物本质内涵的阐释;其二作为名词是指事物的外在征象。

从心理学的视角看，表征是个体认知世界的准则，个体能够深入领会和正确应用该知识的前提是要理解大脑对某种知识的具体表征形式。表征包括形式和过程两个相互依存的部分。形式即记录和呈现各种信息的形式;过程则是指运用和调整信息的过程。两个部分不能单独使用，否则不能构成问题表征。

从问题解决的视角看，问题表征是问题解决者根据已有的知识经验，结合问题情境的条件和问题存在的形式，明确问题的初始状态、问题的目标状态，进而在头脑内部形成问题解决的空间、建构问题解决的允许操作策略。问题表征不仅是问题直接的表达方式，也是问题在头脑中的呈现方式，是主体对问题的内化。

依据问题表征的形式，可以将表征分为外在表征和内在表征。外在表征是在外部刺激的情况下，将问题用自然语言、文字语言、图表图形、数学模型、抽象数式等具体的形式表示出来;内在表征是问题在学习者头脑中的思考，或者说是解题者的内部心理符号。外在表征是内在表征的具體化和外显化，内在表征是外在表征的基础和内部运行机制。

（二）数学问题表征的作用

对于学生的数学学习而言，只有恰当的问题表征才能在已知条件和最终目标之间形成正确的问题情境表征，从而顺利解决数学问题。学习者在解决数学问题时，先要对问题进行合理表征。如学习者要理解并运用某个数学结构，最好的策略就是学习者能将该数学结构与另外一个更容易理解的数学结构建立映射关系。数学问题表征其本质就是在不同的数学结构中建立映射关系的过程。因此，对于学习主体而言，造成问题解决困难的原因，一是源于数学问题本身的结构，二是学习主体选择问题表征的方式或问题表征的能力。有研究表明，精准的问题表征方式与问题成功解决之间存在正向相关性。

（三）数学问题表征的依据和类型

数学问题表征包括数学问题的构成要素，又包括头脑中已有知识经验对问题的内部解释，是学习主体通过对问题情境的分析理解，从而达成解决数学问题这一目标的必要步骤。因此，数学问题表征的依据有两个方面：一是问题本身的客观性，要求学习主体在将问题转化为数学模型时，需要切实依据问题的文字、图表图像、数学符号及问题之间的关系;二是学习主体的认知结构，即主体已有的数学知识基础、数学基本技能、内化的数学思想、解决问题的经验策略和对数学的情感态度等因素。数学问题表征，依据不同的标准，有不同的类型。

1.依据数学教学内容，将数学问题表征分为以下四类：（1）符号表征（代数问题），符号表征是数学问题的基础表征形式，具有抽象性与概括性特征;（2）几何表征（平面几何与立体几何问题），具直观性、具体性;（3）文字表征（逻辑问题），是数学问题呈现方式中最常见的表征形式;（4）表象表征（推理竞赛题），这类表征具有很强的形象性，在数学竞赛题中较为多见。

2.依据数学问题表征的层次，可以将其分为字面表征、真实情境表征和数学符号表征。

3.依据数学表征的方式可以将其分为：图表图像表征、自然语言表征、原理表征和方法表征。一般而言，数学知识可以分为陈述性知识、程序性知识和策略性知识。方法表征即是用程序性知识表达对问题的解决，原理表征则是用于问题情境紧密相连的数学规律、数学策略来表征问题。

以上分类实际上都只能概括数学问题表征的部分特征，因此，学习者在解决复杂数学问题时，必须同时运用多种表征。

二、问题表征对数学问题解决的影响

（一）强化问题外部表征的运用，挖掘数学本质

数学最显著的一个特征就是符号化，解决数学问题离不开数学符号的运用，只有理解数学符号的基本含义及其在特定情境下的深层含义，才有可能因势利导，从而找到顺利解决问题的方法。与此同时，我们也要深刻地认识到，正是由于符号语言具有高度的简洁性、抽象性和概括性，学生在解决含有大量、复杂、陌生符号的数学问题时，很难将符号含义与文本信息进行一一匹配，从而不利于问题的解决，因此将符号适当的图形化，借助几何直观的思想，能更容易地帮助学生理解数学问题的本质，也即图标表征的方式。图表表征是指利用几何图形或者表格来表示具体问题，它将数学问题题目中的条件和问题加以提炼并以简单明了的形式呈现出来，提供给学生一个更加直观的方式理解问题情境，利用更加便捷的途径找到解决问题的关键要素。

有效的外部表征是成功解决数学问题的关键。在解决数学问题的过程中，学生对给定的问题进行理解、掌握、转化，形成外部表征，并初步制定解决问题策略。外部表征主要是指问题情境的构成成分和结构，包括文字、符号、图表及问题与文本的相对位置等的表征。美国心理学家Mayer曾经提出解决数学应用题的4个一般性认知过程，即问题转译→问题整合→解题计划→解题执行。

问题转译是指将文字陈述问题翻译为数学命题，当问题以文字形式呈现时，在对问题的各种条件形成完整的表征前，须将问题正确地转化为数学命题形式。当然，文字陈述的复杂程度和文字表述的长度也会通过影响问题转译而影响数学问题的解决。

例如解释2/3÷2=1/3时，可以采用如下策略：（1）用文字陈述分数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，进行运算;（2）可以根据分数的

意义阐述，把单位1平均分成3份，2/3表示取其中两份，而2/3÷2则是把2/3再次均分为2份，每份为1/3;（3）利用图表，将问题和实际联系起来。一块蛋糕平均分成3份，拿走一份，剩下的2份平均分给两个小朋友，并借助图形表示。

由于几何图形能明确地表达出条件数据间的关系，在几何图形的外部表征下直观、形象、简洁，学生能根据几何图形中的数量关系列出解决问题的算式，不仅解决了数学问题，掌握分数除法的算法，同时也能够通过多种表征的共同运用，达到理解算理、把握分数除法本质的目的。

（二）深化内部表征的理解，培养数学思维

内部表征是指学生自主独立建构自身内部的认知结构，是对给定的数学问题情境中的条件、要求、问题的内部思维解释。内部表征对学生数学学习的影响可以从数学问题图式理论的视角进行分析。图式理论描述了个体知识的表征途径，以及这些表征的知识是如何以某种特有的方式有利于知识的应用。图式理论的基本观点是：学习者头脑中储存的一切知识都能分成不同单元、单元构成组块、组块整合成系统。这些单元、组块和系统就是图式。数学问题图式就是数学问题解决过程的图式，数学问题图式具有适应性、灵活性、强迁移性和概括性等特征。数学问题图式包括两部分：一是描述它所对应的某类问题的特征，二是解决这类问题的数学基础知识、解决问题的基本策略和执行策略的具体程序。学习者在问题解决中，一旦激活一个数学问题图式，即可自动执行相应的数学解题程序。

三、数学问题表征对课堂教学的启示

（一）因材施教，关注个性差异

建构主义理论强调，主体对知识的理解和应用是基于个人已有的知识和经验的。经验具有缄默性和个体差异性。关注个性差异，即要关注学生的认知结构、水平和风格，在此基础上，深入了解学生的数学问题表征方式，提高数学问题表征能力、数学问题图式水平和数学解题能力，最终发展和完善学生认知结构。所以数学课堂教学中，教师在设计和选择数学问题的内容和形式时，不仅要注意学生已有的知识水平、能力水平和心理发展水平，更需要考慮到学生的个性差异，设计合适的文字表述，创设合理的问题情境，以便学生有效、正确地进行内、外部表征，来确保他们学习新知的成功率，同时让他们付出的时间和精力得到利益最大化的结果。由此减少学生的学习压力、提高学生学习的兴趣和积极性，以及问题解决的效率。

（二）启发诱导，表征方式多样化

课程标准强调，学生的数学素养的体现除了基础知识和基本技能外，还要具有基本数学思想和基本活动经验。因此，数学课堂教学中，比获得数学知识更重要的是能挖掘渗透于具体数学知识中数学思想方法，培养数学思考、数学交流的习惯和能力，最终形成“数学智慧”。数学智慧并不是在书本上能够直接获得的外显知识，而是表现为数学思维的创生、数学思想的获得等内隐的表达形式的知识，智慧的数学课堂应该体现多元性、探究性、合作性、和谐性等特征。因此，教师在课堂教学中要以学生为主体，以启发诱导为主要的教学模式，用多元化的表征方式，从多角度、多方向来刻画数学问题，引导学生将直接思维与间接思维相结合、抽象思维和形象思维相结合等，要打破思维定式，使不同的表征方式，通过表征同一个数学问题而建构一个统一的表征体系。

问题表征方式的多元化需要重视强化学生对问题外部表征及内部表征的训练。在数学问题的解决过程中，内、外部表征并不是单一地运行，而是将问题先通过外部表征描述，再进行内部表征完善，顺利解决问题。由于表征形式的多样性、学生个体认知结构的独特性，每个人的表征过程和结果必然会存在一定的差异性。因此，教师应当带领学生从多个角度、多个方面来对数学问题进行表征，从而抓住问题的着手点、关键点，解决更复杂的数学问题。

（三）巧用变式教学，克服思维定式

心理学者指出：学习者在形成问题图式后要防止误用图式。教学中使用变式教学理论，将正确应用图式的情境与误用情境进行比较，以识别关键差异，将关键差异编码作为图式的一部分，这个过程就是克服思维定式的过程。行为主义心理学派将有效的学习看成是强化的过程。而在数学的教学过程中，给学生提供变式练习的机会就是一种合理强化的手段。章志光认为，变式是形成数学概念时提供的肯定样例在非本质特征方面的变化形式。数学课堂教学中的变式教学要求数学教师在教学设计的过程中要对教学深入钻研，要求学生在课堂上展示知识的发生、发展及形成的过程，有利于培养学生研究、探索数学问题的能力。在变式分析中，通过一题多解、一题多变、一设多问等形式理解让学生加深对数学概念的理解和应用，把握数学本质。与此同时，教师要了解学生学习情况、进行反馈调节的必要措施，防止学生形成思维定式，强化正迁移的作用。在日常教学中，加强学生对多元表征转换和应用的训练，尽可能地使用多种方式进行表征，加强其对不同表征形式的理解和认知，提高学生表征转换的灵活性和应用的多元化。

在新課程标准理念的倡导下，教师应当利用一切有利因素，积极为学生创造反思的情境，引导学生学会反思、主动反思，能运用反思来改进自己学习上的不足之处。因此不管是教师在教学过程中，还是学生在自主练习中，都可以从这三个方面进行反思：（1）反思过程是否正确，就是解决问题的过程中的计算是否正确、某些隐含条件是否注意到等;（2）反思有无其他方法，这就要求学生以创造性的观点解读问题，用发散性思维从不同方面思考问题的其他解决方案;（3）反思能否迁移，就是解决问题过程中所运用到的解决方法、思维方式或问题结论等能否在其他数学问题或其他学科问题中得到应用。

总之，通过练习、反馈和教学反思有助于打破思维定式，促进学生掌握知识，还能发现自己的解题过程中的优点和不足，促进学习迁移和知识积累。

参考文献

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The Influence of Mathematical Problem Representation on Students’ Problem Solving and Its Teaching Enlightenment

LI Yan-li

（School of Educational Sciences / Faculty of Teacher Education， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu 221116， China）

Abstract： The prerequisite of solving a problem is to excavate the essence of the problem， correctly grasp and refine the information， and accurately represent the problem. Problem representation refers to the way in which the problem is presented in the learner’s mind. The learner can extract and integrate key information in the problem space in different ways to determine the possible operators. This paper mainly discusses the influence of problem representation on students’ ability to solve mathematical problems， and puts forward the strategies of mathematics classroom teaching based on the cultivation of problem representation.

Key words： Mathematical problem representation; problem solving; schema