基于欧进萍谱的广义Maxwell耗能结构随机响应简明解法

2022-02-28 12:55刘美华邹万杰葛新广李创第

振动与冲击 2022年4期

刘美华，邹万杰，葛新广，李创第

(广西科技大学土木建筑工程学院，广西柳州 545006)

结构控制能迅速地衰减结构的振动反应[1-2]，在抵御强地震或风荷载时，安装耗能装置能有效减小主体结构的破坏[3-5]。线性黏弹性阻尼器利用黏弹性材料来吸收振动能量，为更精确地描述黏弹性阻尼器的本构关系，国内外学者提出了各种力学模型，比如Maxwell模型[6-7]、Kelvin模型[8]、一般积分模型[9-10]、广义Maxwell模型[11-12]等。其中Maxwell模型和Kelvin模型是形式单一的力学模型，表现出的是单一的松弛行为、单一松弛时间的响应。而实际工程中，主体结构是多层次性的，并且运动单元也具有多重性，对应于结构中不同的单元，都应有不同的松弛时间。因此，为了反映黏弹性阻尼耗能结构的响应特性，采用多元件组合的广义Maxwell力学模型来分析结构动力响应，更具有合理性。

地震发生在时间、空间、强度方面都具有明显的随机性[13]，最早用于模拟随机地震地面运动的模型是白噪声模型，接下来Kanai[14]又提出用平稳过滤白噪声模型来模拟地震地面运动过程，即金井清模型，这一模型在地震工程界得到了广泛应用[15-17]。该模型将地表覆盖土层视为线性单自由度滤波器，但假定基岩地震动为理想白噪声，因此，并不能反映基岩的动力特性，也无法求出地面位移、速度、加速度导数方差的有限值，据此，欧进萍院士[18]提出了平稳过滤有色噪声谱模型，即欧进萍谱，其继承了金井清谱的优点，具有明确的物理意义，同时假定基岩运动为马尔柯夫有色频谱，更能反映基岩的动力特性，也能够求得地面位移、速度以及加速度过程导数方差的有限值，因而更方便结构随机地震响应分析。

用于黏弹性耗能结构的响应分析方法有扩阶复模态法[19-20]、虚拟激励法[21-22]、模态应变能法[23]、强行解耦法[24]等。模态应变能法采用小阻尼假设，当阻尼较大时误差也较大。强行解耦法由于忽略对角线元素，当阻尼较高时，也会引起较大误差。虚拟激励法求解谱矩和方差需要借助数值积分，其计算精度受积分区间和积分步长的影响，而且，当有多个平稳随机激励且互相具有相干性时，其计算量浩大。扩阶复模态法是通过建立状态方程来求解，当阻尼力表达式已知时，是一种精确的求解方法，但是，因扩阶变量个数增多，导致计算效率较低。为此，本文兼顾计算精度和效率，提出了一种扩阶之后简明的结构响应解析分析方法，即将结构运动方程、阻尼器本构方程和滤波方程联立为状态方程，再运用复模态法解耦该联立方程，得到由白噪声激励表示的结构响应统一表达式，最后由平稳随机过程谱矩的定义，得到阻尼器及结构系列响应(含结构位移及结构速度、层间位移及层间速度、阻尼器受力及其变化率)0～2阶谱矩的解析解。

1 结构运动方程

1.1 原结构运动方程

图1 结构计算简图Fig.1 Calculation diagram of the structure

结构运动方程为

(1)

其中,

I=[1, 1, …, 1]T,

x=[x1,x2, …,xn]T,

PQ(t)=[PQ1(t),PQ2(t),…,PQn(t)]T

1.2 广义Maxwell阻尼器本构关系

广义Maxwell模型阻尼器是由一个线性弹簧和一系列Maxwell模型单元并联而成，广义Maxwell模型阻尼器计算简图如图2所示，Maxwell模型阻尼器计算简图如图3所示。

图2 广义Maxwell模型阻尼器Fig.2 Generalized Maxwell model damper

图3 Maxwell模型阻尼器Fig.3 Maxwell model damper

广义Maxwell阻尼器本构关系为

(2)

式中：PQi(t)为第i层阻尼器的总阻尼力；k0为阻尼器平衡刚度；pij为每个Maxwell单元的阻尼力。其中：i=1～n，n为楼层数目；j=1～r，r为广义Maxwell阻尼器中标准Maxwell阻尼器单元的个数。

将式(2)写成矩阵形式，有

(3)

式中：l为元素均为1的1×r阶向量；pi为r×1阶向量，pi=[pi1,pi2, …,pir]T。

将式(3)简写为

PQ(t)=K1x+D1P

(4)

式中：D1为n×rn阶对角阵，rn指r×n项，D1=diag[l,l, …,l]；P为rn×1阶向量，P=[p1,p2, …,pn]T。

各分支Maxwell阻尼器微分关系为

(5)

式中,kpj,cpj分别为第j个标准Maxwell阻尼器单元的刚度和阻尼，j=1～r。

将式(5)写成矩阵形式，有

(6)

式中：A为r×r阶对角阵，A=diag[kp1/cp1,kp2/cp2, …,kpr/cpr]；a为r×1阶向量，a=[kp1,kp2, …,kpr]T。

将式(6)简写为

(7)

式中：α为rn×rn阶对角阵，α=diag[A,A, …,A]；B为rn×rn阶矩阵。

1.3 重构结构运动方程

欧进萍谱可用滤波方程描述如下

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

CW(τ)=2πS0δ(τ)

(9)

式中：δ(τ)为Dirac函数。

联立式(1)、式(4)和式(8)，重构结构的运动方程

(10)

引入状态变量

(11)

将式(7)、式(8)和式(10)写成状态方程

(12)

其中,

β=[0o10o11o3]T

式中：o1为元素均为0的n×1阶向量；o2为元素均为0的n×n阶矩阵；o3为元素均为0的rn×1阶向量；o4为元素均为0的n×rn阶矩阵；E1为n阶单位矩阵；E2为rn阶单位矩阵。

2 结构响应杜哈梅积分统一表达式

由于式(12)为非经典系统，故用复模态法对其进行解耦。存在右特征向量矩阵U、左特征向量矩阵V和特征值矩阵q使式(12)解耦，特征值矩阵q为对角阵，且满足关系式

(13)

引入复模态变换

y=Uz

(14)

式中,z为广义复模态变量。

式(12)最终可化为如下复模态响应方程：

(15)

其中,

(16)

将式(15)写成分量形式，有

(17)

式中：zj,qj和ηj分别为z，q和η的分量；(r+2)n+3为特征向量矩阵的阶数。

式(17)的解为

(18)

(19)

(20)

式中：uz为右特征向量矩阵U的第z行向量；λz,i为结构动力响应的强度系数，其为λz,i=uz,iηi；j=1～n;z=j+1,n+2+j。

由式(4)、式(11)、式(14)和式(18)，第j楼层阻尼力PQj(t)的杜哈梅积分表达式为

(21)

(22)

对式(4)求导，得

(23)

(24a)

(24b)

(25a)

Δx1=x1

(25b)

(26a)

(26b)

对应于广义Maxwell阻尼器多层耗能减震结构，它们的位移及速度、层间位移及层间速度、阻尼器受力及其变化率响应均具有相似的表达式，所以可将以上参数统一表示为

(27)

Gz,i(t)为结构响应分量，其表达式为

(28)

3 结构响应方差与功率谱解析解

由于结构响应分量Gz,i(t)可以作如下相等变换

(29)

则结构响应Gz(t)的平稳协方差函数的表达式为

(30)

由式(29)和式(30)，得结构响应分量的协方差为

(31)

由于W(t)为具有零均值的平稳白噪声，将式(9)代入式(31)，求积可得

(32)

利用δ(τ)函数的性质，可以将式(32)简化为一重积分

(33)

再对式(33)的积分部分运算，可得

(34)

故由式(30)和式(34)，可得在欧进萍谱平稳地震激励下耗能结构响应的协方差为

(35)

令

(36)

则结构响应Gz(t)的协方差式(35)可简化为

(37)

在式(37)中，令τ=0，可得结构响应Gz(t)的方差

(38)

由平稳随机过程的功率谱密度函数与协方差函数的Wiener-Khinchin关系[25]，结构响应的功率谱可表示为

(39)

将式(37)代入式(39)并对积分部分运算，可得本文方法求得的结构响应功率谱解析解

(40)

由式(20)、式(36)和式(40)，得本文方法结构位移x功率谱密度函数

(41)

(42)

由式(25)、式(36)和式(40)，得本文方法结构层间位移Δx功率谱密度函数

(43)

(44)

由式(22)、式(36) 和式(40)，得本文方法阻尼力PQ(t)功率谱密度函数

(45)

(46)

4 结构响应谱矩解析解

由谱矩的定义，结构响应的j阶谱矩表达式为

(47)

式(47)中令j=0，得结构位移(绝对位移、层间位移)响应0阶谱矩

(48)

对式(48)积分部分运算可得

(49)

由随机振动理论可知，结构位移响应的0阶谱矩即为随机过程位移方差，式(49)也验证了本文方法的正确性。

结构位移响应2阶谱矩为结构速度响应，可由速度方差表示

(50)

阻尼器阻尼力响应0阶谱矩为

(51)

阻尼器阻尼力响应的2阶谱矩等于阻尼力变化率的方差，即

(52)

式(47)中令j=1，得结构位移响应1阶谱矩为

(53)

对式(53)积分部分运算可得

(54)

根据文献[25]可知

(55)

故结构位移响应1阶谱矩γx,1可表示为

(56)

同理，可得阻尼器阻尼力响应1阶谱矩γP,1为

(57)

5 算例

某十层钢筋混凝土框架结构，第一层至第十层的结构质量为m1～m10=400×103kg，层间刚度为k1～k10=253×106N/m，结构阻尼按Rayleigh阻尼计算，两比例系数分别为a0=0.281 4和a1=0.006 7，结构阻尼比ξ=0.05。每层设置相同的广义Maxwell阻尼器，阻尼器平衡刚度k0=75.90×104N/m，阻尼器两分支Maxwell单元的松弛时间和刚度分别为：μ1=0.08 s，kp1=12.65×105N/m；μ2=0.10 s，kp2=10.63×105N/m。地震烈度为8度，Ⅰ类场地，在欧进萍谱平稳随机地震激励下的各参数取值为：谱强度因子S0=45.24×10-4m2/s3，场地土阻尼比ξg=0.64，卓越频率ωg=25.13 rad/s，基岩的谱参数ωh=8π rad/s。

5.1 功率谱对比

(58)

(59)

式中：u1,un+2分别为右特征向量矩阵U的第1、第n+1行向量。

(60)

式中,βi=-(2ξgωgλ1,i+ωg2λn+2,i)。

(61)

欧进萍谱功率谱密度函数的传统表达式为

(62)

图4 地面加速度功率谱Fig.4 Ground acceleration power spectrum

图5 第5层结构位移功率谱Fig.5 Absolute displacement power spectrum of the 5th floor

图6 第5层层间位移功率谱Fig.6 Inter-storey displacement power spectrum of the 5th floor

由图4可知，本文激励功率谱图与欧进萍谱传统功率谱图完全吻合，由图5和图6可知，本文方法与虚拟激励法计算得到的结构响应功率谱图形完全吻合，从而验证了本文求得的功率谱密度函数表达式的正确性。而本文将耗能结构在欧进萍谱激励下的结构系列响应功率谱表示为(ω2+qi2)-1的线性组合，表达式更为简洁，更便于后续的积分运算。

5.2 谱矩计算精度和效率对比

为了验证本文谱矩计算方法的正确性和精确性，运用本文方法计算得到的结构响应0～2阶谱矩，与已有虚拟激励法计算得到的谱矩进行对比分析。因为虚拟激励法计算谱矩需要进行数值积分，其计算精度和计算效率与积分区间以及积分步长密切相关，因此，有必要选取不同的积分区间和积分步长进行更全面地对比。为了研究频域积分步长Δω对虚拟激励法谱矩精度的影响，将虚拟激励法积分步长分别取为0.25 rad/s,0.10 rad/s,0.001 rad/s，积分区间统一取为[0,250]。图7～图9为本文方法和虚拟激励法分别取3种不同积分步长计算结构各层位移谱矩γx的对比，图10～图12为本文方法和虚拟激励法分别取3种不同积分步长计算结构各层层间位移谱矩γΔx的对比。

图7 位移0阶谱矩Fig.7 0-order spectral moments ofabsolute displacements

图8 位移1阶谱矩Fig.8 1st-order spectral moments of absolute displacements

图9 位移2阶谱矩Fig.9 2nd-order spectral moments of absolute displacements

图10 层间位移0阶谱矩Fig.10 0-order spectral moments of inter-storey displacements

图11 层间位移1阶谱矩Fig.11 1st-order spectral moments of inter-storey displacements

图12 层间位移2阶谱矩Fig.12 2nd-order spectral moments of inter-storey displacements

由图7～图12可知，在积分区间固定的情况下，随着虚拟激励法频域积分步长Δω的减小，虚拟激励法计算得到的结构位移和结构层间位移的0～2阶谱矩值就越逼近本文方法得到的谱矩值，验证了本文谱矩计算方法的正确性和精确性。

为了研究积分区间对虚拟激励法谱矩精度的影响，以计算结构层间位移的0～2阶谱矩为例来进行研究。将虚拟激励法积分区间分别取为[0, 35],[0, 40],[0, 50]，积分步长分两种情况取值：①Δω=0.001 rad/s；②Δω=0.000 1 rad/s。图13～图15是第①种情况虚拟激励法分别取3种不同积分区间的谱矩值与本文方法谱矩值之差的绝对值;图16～图18是第②种情况虚拟激励法分别取3种不同积分区间的谱矩值与本文方法谱矩值之差的绝对值，其纵坐标反映的是虚拟激励法谱矩值偏离本文方法谱矩值的大小。

图13 层间位移0阶谱矩误差对比(Δω=0.001 rad/s)Fig.13 Accuracy of 0-order spectral moments(Δω=0.001 rad/s)

虚拟激励法是功率谱分析的精确方法，其功率谱谱矩计算需要进行数值积分，计算精度取决于积分步长和积分区间。当积分上限取值相同时，积分步长取值越小，计算结果精确度越高，第②种情况积分步长是第①种情况积分步长的0.1倍，所以第②种情况谱矩计算精度比第①种情况谱矩计算精度更高。由第①种情况图14和图15可知，部分楼层的层间位移1阶和2阶谱矩值并没有随着积分区间的增大而更逼近本文方法谱矩值，由第②种情况图16～图18可知，结构层间位移0～2阶谱矩值均随着积分区间的增大而更逼近本文方法谱矩值，由此可知，随着频域积分步长Δω的减小和整个积分区间的增大，两种方法计算得到的0～2阶谱矩值误差越小，虚拟激励法得到的谱矩值就更逼近本文方法谱矩值，进一步验证了本文谱矩解为精确解，同时也说明虚拟激励法要想达到更高的精度，须将积分步长取得足够小。