基于线性编码的随机时延和丢包下的状态估计

卢建华，王元鑫，姜林君，高峰娟

(1. 海军航空大学，山东 烟台 264001；2. 海军航空大学青岛校区，山东 青岛 266041；3. 91001部队，北京 100036)

1 引言

近年来，网络化状态估计在飞行器编队控制、飞行器故障检测和组网导航等领域得到了重要应用，已经引起了国内外学者的广泛研究[1-5]。然而在实际应用环境中，不可避免地会同时存在由网络资源不足或通信不稳定导致的数据包传输时间延迟和丢失问题，使得状态估计性能受到严重损害。长时延会导致不同时刻的多个数据包在同一采样周期内到达远程处理中心，如何选取并利用这多个数据包设计精度更高计算量更少的估计器成为目前亟待解决的问题。对此，文献[6]在处理中心处设置固定长度的存储空间，将每一采样周期内延迟到达的数据包根据其时间戳进行存储，以用于下一时刻重新估计计算，避开了在设计估计器时对时延的直接处理，便于直接利用。文献[7]的思路是定量分析丢包率和估计器期望误差之间的关系，然而在时延较长的应用场景中，该估计器重复递推计算会造成极大的计算负担。文献[8]利用数据包的时间戳，选择到达处理中心的多个数据包中时刻相对最新的一个，并在设计估计器新息时利用了之前各时刻所选取的数据包测量信息，通过最小化估计误差协方差得到最优估计器增益的递推形式。该方法虽然增加了过去时刻测量信息的利用，但是估计器增益的计算需处理不同时刻估计误差的交联，计算负担会随着最大时延的增大而急剧增加，并且该交联使得估计器的稳定性分析难以进行。文献[9]规定每一采样周期内到达处理中心的多个数据包中至多只有一个被用于估计器计算，不同于文献[8]直接利用测量值设计估计器新息的思想，文献[9]通过增广系统方法将传感器测量时延变量和丢包变量转化为新的增广系统矩阵中的伯努利随机变量，利用射影定理推导出在线/离线两种最优状态估计器，并给出离线估计器稳定的充分条件。然而文献[9]至多选取到达处理中心的多个测量数据包中的一个进行估计计算，直接丢弃其它数据包造成了有效信息的浪费，必然造成估计精度损失。为了弥补文献[9]中因估计器只选取一个数据包而造成的精度损失，文献[10]保留每一采样周期内到达远程处理中心的所有测量数据包，利用和文献[9]相似的增广系统方法，将传感器测量时延和丢包变量转化为新的增广系统矩阵中的随机变量，推导出与文献[9]相对应且精度更高的两种最优状态估计器，并给出了离线估计器稳定的充分条件。虽然信息被全部利用，但是该方法保留多个测量值使得估计器引入了新的多维增广测量矩阵，因而相比文献[9]引进了更多的计算负担。为了给出一种估计精度优于文献[9]且计算量低于文献[10]估计方法，本文受文献[11]中线性编码方法的启发，对在同一采样周期内到达估计中心的所有数据包测量值按照离线设定的编码进行线性相加，相比于文献[9]，避免了数据包信息的丢弃浪费，同时也避免了文献[10]中由多个测量值造成的多维测量增广矩阵，降低了计算量。具体地，本文用一组服从伯努利分布的随机变量对随机时延和丢包进行建模，将时延变量和丢包变量转化为新的增广系统矩阵中的随机参数。数据包在发送前被标记时间戳，远程处理中心可根据数据包时间戳按照与各时延值对应的离线设定好的编码参数进行线性相加。根据得到的新的状态方程和编码后的测量方程，依据是否利用实时的时延变量和丢包变量，应用射影定理推导出与文献[9]和[10]中相对应的在线/离线两种最优估计器，并给出离线估计器稳定的充分条件。进一步地，通过改变编码参数组合，可以对估计器的估计误差进行离线调整来适应时延分布和丢包概率不同的场景。最后，通过算例仿真验证估计器的有效性。

2 问题描述与分析

考虑如下线性离散随机系统

x(k+1)=Ax(k)+Γw(k)

(1)

y(k)=Cx(k)+v(k)

(2)

其中，x(k)∈n和y(k)∈m分别表示系统状态和传感器的测量输出，w(k)∈r和v(k)∈m分别表示系统噪声和测量噪声，A∈n×n、C∈m×n和Γ∈n×r为常矩阵。

不失一般性，对系统做如下假设：

假设1.w(k)和v(k)为零均值高斯白噪声，且满足

(3)

式(3)中，W>0和V>0分别为w(k)和v(k)的方差矩阵，S>0为w(k)和v(k)之间的协方差矩阵。

假设2.系统初始状态x(0)期望为μ0，方差为P0，且与w(k)和v(k)均不相关。

如图1所示，数据包在传输前被标记时间戳，假设传感器采样和发送频率与远程处理中心接收频率一致，在数据包经通信网络传输的过程中，存在有限传输时延和丢包。为避免网络拥挤，每个数据包只被发送一次，不妨设最大传输时延为d，并且将时延大于d的情况视为丢包。长时延会导致不同时刻的多个数据包在某一采样周期内到达远程处理中心，或者因数据包丢失导致处理中心可能在某一采样周期内接收不到数据包。与文献[9]不同，本文保留到达处理中心的数据包，在k时刻到达处理中心的传感器测量输出可描述为如下增广形式[10]

图1 网络化状态估计结构图

(4)

其中，y(-i)=0，i=0，1，…，d，αi(k)为互不相关的伯努利随机变量，其分布概率为P{αi(k)=1}=αi，P{αi(k)=0}=1-αi，0<αi<1，且与其它随机变量互不相关。并且由αi(k)的性质可得出

(5)

(6)

则ai(k)为服从伯努利分布的随机变量，ai(k)=1表示在k时刻y(k-i)到达处理中心，反之则无。由于每个数据包只被接收一次，因此有

ai(k)aj(k+j-i)=0，i≠j

(7)

(8)

(9)

其中，Im∈m×m为单位阵，符号⊗表示Kronecker积。关于编码参数β(k)的设计，将在后文中进行说明。

这里需要说明的是，本文设计的编码后的测量输出与文献[9]直接选取的某一个测量输出相比，包含了更多个数据包的信息，为提高估计器精度奠定了基础。

与文献[9]和文献[10]思路一致，根据是否实时利用时延变量和丢包变量，最优估计器推导可分为如下两种情况：

3 离线估计器设计

针对情况a)，首先令

(10)

则有

z1(k)=(1-α0(k))Cx(k)+(1-α0(k))v(k)

z2(k-1)=(1-α0(k-1))(1-α1(k))y(k-1)

印支期仅出现小规模的岩浆活动，主要表现为一些碱性岩、碱性花岗岩、A型花岗岩和煌斑岩脉的侵入；燕山期是本区一次大规模的岩浆活动，形成花山、五丈山、祈雨沟、合峪、太山庙等花岗岩体。其中花山、合峪岩体规模巨大，呈岩基出现，其他岩体呈小岩株状产出。燕山期花岗岩浆活动及其伴随形成的金矿床都必然受到成岩构造环境和大规模伸展动力学背景控制，槐树坪金矿床的形成是燕山期岩浆活动的典型产物。

=(1-α1(k))z1(k-1)

⋮

=(1-αd-1(k))zd-1(k-d+1)

(11)

(12)

(13)

其中，各变量为

(14)

(15)

(16)

(17)

对式(14)-(17)进行变形可得到

(18)

(19)

(20)

(21)

上述式中各变量为

(22)

(23)

由式(3)可得

(24)

(25)

为方便引出和阐述主要结论，首先给出如下引理。

引理1.定义变量q(k)=E[X(k)XT(k)]，则有

(26)

(27)

证明：结合式(18)和(19)，将式(12)变形为

+(Γ0+α0(k)Γ1)W(k)

(28)

因为W(k)⊥X(k)，所以由q(k+1)=E[X(k+1)XT(k+1)]可以得到式(26)。证毕。

定理1：对于系统(12)和(13)，最优状态估计器的递推形式为

a(k|k)=a(k|k-1)+Ka(k)ε(k)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

其中，Qε(k)为新息ε(k)的方差矩阵，其计算公式为

+α0((βT(k)⊗Im)e1)V((βT(k)⊗Im)e1)T

(34)

最优预测误差方差阵为

(35)

式中，各变量的计算公式为

(36)

(37)

×((βT(k)⊗Im)Ci)T+α0((βT(k)⊗Im)e1)

×V((βT(k)⊗Im)e1)T

(38)

最优估计误差方差阵为

(39)

(40)

(41)

结合式(40)可得新息方差E[ε(k)εT(k)]计算公式为式(34)。最优预测增益La(k)为

(42)

由式(40)可得

(43)

(44)

将式(42)和(43)代入(41)可得式(33)。由式(12)和(30)可得

(45)

定义

(46)

(47)

(48)

结合(22)、(23)及(46)-(48)可得最优预测误差协方差Pa(k+1|k)计算公式为式(35)。证毕。

(49)

(50)

这里需要说明的是，k时刻最优估计增益Ka(k)和最优预测增益La(k)的计算依赖该时刻线性编码β(k)和时延丢包概率，令β(k)=β，则估计器计算为完全离线，此为研究估计器稳态特性的前提。

4 稳态特性分析

为方便得出主要结论，给出如下引理：

(51)

证明：定义

(52)

(53)

(54)

证明：引入如下Riccati方程

(55)

(56)

5 在线估计器设计

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

式(59)和(60)中，上标“+”表示Moore-Penrose逆。

(63)

(64)

6 算例仿真

图2 状态真值与两种状态估计值的轨迹

图3 与文献[9]和文献[10]中离线估计器的误差对比

图4 与文献[9]和文献[10]中在线估计器的误差对比

图5 编码参数选取对估计误差的影响

7 结论

本文针对存在随机时延和丢包的网络化状态估计问题，分别设计了离线/在线两种精度可调的状态估计器。利用线性编码对到达处理中心的多个测量值进行线性相加，得到一个用于状态估计计算的新的测量值。估计器精度可通过改变编码参数来改变，因此可根据不同的时延和丢包概率来调整精度，具有一定的适应性。同时该估计器相比于文献[10]，能够有效降低计算复杂度，在长时延的应用场景下具有重要的工程意义。最优编码参数的搜索将是下一步要研究的问题。