关于时滞复杂网络的精密温度自动控制研究

罗 鑫，张春涛

(1. 黄淮学院能源工程学院，河南 驻马店 463000；2. 北方民族大学机电工程学院，宁夏 银川 750021)

1 引言

在工业生产中，温度的控制对产品性能的稳定性具有重要的影响，尤其是在高精度仪器生产过程中，对温度的控制稳定性与精确性有着更高的要求，所以提高时滞复杂网络环境下的精密温度控制性能至关重要[1-4]。文献[5]采用运算放大器等设计了温度采集系统，运用最小二乘法对温度信息进行拟合，通过建立的温度-电阻关系模型，对温度变化过程进行预测，采用第三维模糊语言变量的模糊规则，建立三维模糊PID规则表，结果表明该系统对半导体的加热、制冷控制响应时间较快，但预设温度较高或较低时，温控系统会被限制。文献[6]基于自整定PID算法引入模糊控制，通过MATLAB仿真系统求出调节参数，结合反馈数值对运行参数进行整定，不仅可以实现参数的自适应调节，还大大提高了系统调控精度，实验结果表明，该系统温度控制精度可达到±0.005℃，但对于较复杂的PID控制没有进行考虑。文献[7]设计了以第三级温度控制为核心惯性器的三级五路结构温度控制系统，对温度控制对象的模型以及PI控制器进行研究，通过仿真对高温和低温环境下的试验数据进行分析，试验结果表明，在-10℃～+45℃时，温控通道的温度稳定性均小于0.01℃，但该系统对非核心的惯性器件并没有给予考虑。

基于以上研究，本文提出关于时滞复杂网络的精密温度自动控制系统，基于增广泛函数和环函数对时滞复杂网络进行研究。具体内容为：1)推导出新的积分不等式；2)基于时滞系统构建出Lyapunov泛函数，结合导入的温度采样信息构建出新的环函数，利用积分不等式推导出使系统稳定性的条件；3)基于成本较低的温度采集系统，设计出温度采样控制器；4)在实例分析中可以证明本文提出的稳定性判据具有较小的保守性，证明了所设计的控制器是有效的。

2 时滞复杂网络控制

虽然时滞网络的同步已经取得了很大进展，但大多数学者研究的是同质系统，而实际环境中外部干扰和参数不确定等因素对温度控制系统会造成异质性的影响，因此对异质复杂网络进行研究非常重要。考虑到温度控制过程中同时包含时变时滞和输入时滞等因素复杂网络，建立由M个耦合节点组成的时变时滞复杂网络模型，每个节点表示1个M维的动力系统，模型可以描述为

(1)

其中，g(xi(t))表示非线性函数；α和β表示耦合强度值；xi(t)表示状态向量；ui(t)表示控制输入；C和D表示内部耦合矩阵；h(t)表示时变时滞函数；ζi(t)表示外部对系统的干扰量；zi(t)表示系统的输出向量；F表示系数输出矩阵；A=(Aij)M×M表示外部耦合矩阵。如果存在节点i和j互相连接，那么满足Aij>0，且矩阵A的对角线元素满足

(2)

由文献[8]可知，非线性函数与时变时滞函数满足：

(3)

其中，E和O表示合适维度的矩阵；h和γ表示正常数。假定ei(t)为误差变量，riso(t)为自然孤立点，有

(4)

此时式(1)的误差系统方程用可表示为

(5)

其中，g(e(t))=g(xi(t))-g(riso(t))。假定采样点0

ui(t)=Liei(tk)，tk≤t

(6)

其中，Li表示反馈控制矩阵；ei(tk)表示离散测量值。综合上述描述，时变时滞复杂网络模型可进一步表示为

(7)

在传统Lyapunov稳定性定理的基础上，本文在函数导数条件中引入环函数方法，满足在温度采样点之外无约束条件，环函数的建立可以有效降低系统的保守性，环函数公式可表示为

(8)

其中，Vcont表示连续微分函数；Vsect表示分段连续微分函数；φ1、φ2和η表示正向标量。进一步构建增广Lyapunov泛函数和环函数，用公式可表示为

(9)

(10)

3 精密温度自动控制系统

3.1 温度采集系统

温度采集系统主要由电桥、运算放大器等器件构成。温度采集系统如图1所示。

图1 温度采集系统

在温度采集系统中构成电桥的电阻较大，因此可以完全忽略微小电流对电路造成的影响，R1和R2为可调节电阻，RNTC为NTC电阻，当RNTC发生变化时，A和B两点间的电压差可表示为

(11)

其中，Vout取值为10V；ΔR表示电阻R6的变化量。

输入到运算放大器的电压差ΔUAB可通过对电阻R8的调节，达到需要的放大倍数Benlarg e，放大倍数计算公式为

(12)

为了避免共模信号对差模信号的干扰，采用OP07作为差模信号的放大器。信号的输出电压可通过测量R9电阻两端的电压获得。除此之外，为了方便A/D数据转换，可通过调节R8、R16和R17的阻值，使输出电压控制在0～5V之间。

由于温度采集系统输出的电压值经过A/D数据转换后显示的只是温度值，不能直接显示出对应温度下的电阻值，因此利用Matlab软件对采集的数据进行最小二乘法拟合，得出温度与电阻关系的参考模型，将离散变量转换成线性变量。经过多组实验得出数据的均值拟合函数，公式可表示为

y(x)=-0.0001x3+0.022x2+0.934x+33.2676

(13)

其中，y表示电阻值；x表示温度值。

3.2 采样控制器的设计

在温度的自动控制中，由于恒温控制是一种非线性的时变过程，可以通过最小二乘法拟合将其转换为动态线性系统，进而通过控制器对温度进行控制。控制器的控制对象为热源温度，实时温度的采样结果作为系统的输入，经过控制器控制后调节温度范围，达到稳定热源温度的目的。

在泛函数V(t)中为了保证与系统的状态向量进行连接，引入状态区间相关矩阵，取W2=W3=W，那么泛函数可表示为xT(t)Wx(t)，由此不仅可以降低保守性，还具有广泛性。为了构造出更多状态信息的增广向量在双闭环函数中，对泛函数进行优化。

定理1：h和γ为给定的正常数，若存在正定对称矩阵W1>0，U1>0，U2>0，W2>0，W3>0，Z>0，且有任意矩阵N1、N2、N3、N4、M1、M2，使下面不等式成立

(14)

其中

在定理1中，矩阵不等式是非线性的，不能通过MATLAB中的工具箱求解出来，因此通过本文的定理2对其进行线性化处理，并求解出温度采样控制器。

定理2：h和γ为给定的正常数，若存在正定对称矩阵W1>0，U1>0，U2>0，W2>0，W3>0，Z>0，且有任意矩阵N1、N2、N3、N4、M1、M2，Tj、Hj、Ij使下面不等式成立

(15)

那么温度误差系统趋于渐近稳定。其中

其它变量的定义与定理1同理，不再一一赘述。

令T1=ϖ1T，T2=T，T3=ϖ2T，H=TI，那么矩阵不等式中的温度采集控制器的增益I=T-1H可以利用MATLAB中的工具箱求解出来。

4 仿真实例

为了验证关于时滞复杂网络的精密温度控制方法的有效性和可行性。对复杂网络模型的3个节点以及参数进行赋值，系统参数如下

h(t)=0.5+0.5sin(5t)

非线性函数可表示为

此函数满足式(3)，且

在定理2的基础上，通过MATLAB工具箱进行仿真，求解出不同耦合强度下的区间上届最大值，仿真结果如表1所示。

表1 耦合强度对区间上届的影响

从表中可知，当选取ϖ1=0.25，ϖ2=1，α=0.5以及ϖ1=0.55，ϖ2=0.75，α=0.75时，通过与文献[5]、文献[6]、文献[7]中采用的方法相比，本文方法的保守性更小，即本文设计的精密温度自动控制器不仅可以在较大的采样区间保证系统的性能，还有较小的时滞间隔。

在假设的初始值下，对控制系统的状态进行仿真，无控制输入的状态轨迹以及控制输入下的状态轨迹分别如图2和图3所示。

图2 无控制输入的状态轨迹

图3 控制输入下的状态轨迹

从图中可以看出，无控制输入下的状态轨迹是不稳定的；而基于时滞复杂网络的状态轨迹随着时间的增加趋于稳定，说明本文设计的控制器具有良好的自适应性。

为了进一步对温度采集系统的高低温进行鲁棒性测试，给采样系统设置初始温度为25℃，环境温度为16℃，经过仿真可得出温度控制数据的曲线如图4所示。

图4 温度控制曲线

从图中可以看出，温度控制系统的超调量为0.86℃，在第9s左右温度急剧降低，温度控制系统工作25s后，控制系统处于稳定工作状态，温度在25±0.05℃范围内波动，其温度值标准差为0.0113℃，完全满足精密控制需求。

5 结束语

为了确保精密仪器的测量精度与其在工作过程中的稳定性，本文设计了关于时滞复杂网络的精密温度自动控制系统。采用成本较低的温度采集系统，通过最小二乘法进行数据拟合，得出温度—电阻关系的参考模型，通过仿真得出温度控制系统的超调量为0.86℃，且标准差较小，可以满足设计需要。为了使热源温度达到稳定，基于环函数方法构建出新的增广Lyapunov泛函数与环函数，在双闭环函数中构造出更多状态信息的增广向量，并对泛函数进行优化处理。通过最终的数值仿真结果可以得出，在给出的稳定条件下，采用本文方法具有更小的保守性，而且通过设计的控制器可以使时滞复杂网络的状态轨迹达到稳定状态，验证了本文方法在精密温度控制方面的可行性与稳定性。