2021年中考“数与式”专题解题分析

王烁

摘  要：依据课程改革思路，为落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》的基本要求，2021年全国各地中考试题结合数与代数学习领域，在考查数与式的相关内容上进行了积极探索，不仅有效地考查了数与式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还注重培养学生的思维能力和创新能力.结合2021年全国部分中考试题中数与式部分试题，对主要考点和解题方法进行总结，欣赏部分试题的精彩解法，对常见的错解进行分析，并给出教学建议.

关键词：数与式;解法分析;中考试题;教学建议

一、试题分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）将初中数学分为四部分：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践. 初中数学中数与代数的内容分为三部分：数与式、方程与不等式、函数. 数的概念是学生认识和理解数的开始，从自然数逐步扩充到有理数、实数，学生不断增加数的理解和运用. 数的运算伴随着数的形成与发展不断丰富，从最基本的自然数的四则运算到有理数的乘方、开方运算. 字母的引入和代数式的出现，是数及其运算的进一步抽象. 代数式及其运算的考查要借助现实情境和简单问题中数量关系的分析，理解用字母表示数的意义，形成整式、分式和根式的概念，建立数感和符号意识，能熟练、准确地进行各种运算，提升运算能力和推理能力. 下面选取2021年全国各地中考试题中关于数与式的部分试题的考查要求和解题特点加以分析.

1. 關注有理数的考查

初中阶段引入负数，既是实际的需要，用以刻画现实世界中具有相反意义的量，又是数学自身将数集扩充为有理数集的需要. 这部分知识点比较多，包括相反数、绝对值等概念，会用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小，掌握有理数加减、乘除和乘方运算法则和运算律，以及科学记数法，等等. 在2021年各地中考试题中，有理数的考查主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大.

例1 （安徽卷）[-9]的绝对值是（    ）.

（A）[9] （B）[-9]

（C）[19] （D）[-19]

答案：A.

【评析】此题主要考查绝对值的概念. 选项的设计考虑将绝对值、倒数、负倒数等易混淆的知识点编写进来，正确理解绝对值的定义是关键，学生要明确一个负数的绝对值是它的相反数，即可得到[-9]的绝对值是9.

例2 （四川∙凉山州卷）下列数轴表示正确的是（    ）.

答案：D.

【评析】此题考查数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴常见的错误：没有正方向、没有原点、单位长度不统一，数字排列顺序错误等. 选项A和选项B都不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，属于数字排列顺序错误，选项C没有原点，选项D符合数轴的定义，满足数轴的三要素.

例3 （山东∙泰安卷）下列各数：[-4]，[-2.8]，0，[-4]，其中比[-3]小的数是（  ）.

（A）[-4] （B）[-4]

（C）0 （D）[-2.8]

答案：A.

【评析】此题主要考查比较有理数的大小，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键. 根据正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 可得[-4<-3<-2.8<0<-4]. 故比[-3]小的数为[-4].

例4 （云南卷）某地区2021年元旦的最高气温为[9℃]，最低气温为[-2℃]，那么该地区这天的最低气温比最高气温低（    ）.

（A）[7℃] （B）[-7℃]

（C）[11℃] （D）[-11℃]

答案：C.

【评析】此题考查有理数的减法，用最高温度减去最低温度，再利用减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算，将[9--2]转化为[9+2]即可得出结果.

例5 （天津卷）计算[-5×3]的结果等于（    ）.

（A）[-2] （B）[2]

（C）[-15] （D）[15]

答案：C.

【评析】此题考查有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘. 有理数的乘法运算步骤第一步先确定积的符号，第二步再把[-5]的绝对值与[3]的绝对值相乘，结果等于[-15].

例6 （甘肃∙武威卷）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截至2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助. 预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫做出重大贡献. 数据“50亿”用科学记数法表示为（    ）.

（A） [5×108] （B） [5×109]

（C） [5×1010] （D） [50×108]

答案：B.

例7 （浙江∙嘉兴卷）2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面. 已知火星与地球的最近距离约为55 000 000千米，数据55 000 000用科学记数法表示为（    ）.

（A） [55×106] （B） [5.5×107]

（C） [5.5×108] （D） [0.55×108]

答案：B.

【评析】这两道题主要考查科学记数法，题目的设计关注实际背景，让学生体会到数学与现实生活的紧密联系. 这两道题知识难度不大，但从一个侧面考查学生思维的全面性、缜密性. 科学记数法的表达形式为a × 10n的形式，其中1 ≤[a]< 10，n为整数. 确定n的值一般有两种方法：方法1，利用整数的位数来求n，n等于原数的整数位数减1;方法2，要看把原数变成a时，小数点移动的位数，小数点向左（或右）移动了几位，n就等于几.

2. 关注实数的考查

初中阶段引入算术平方根、平方根、立方根等概念，数的范围从有理数扩充到实数，学生要知道有理数的运算，以及运算律、运算性质在实数范围内仍然成立. 2021年各地中考试题关于实数的考查内容包括无理数与实数的含義，乘方与开方互为逆运算的关系，立方与开立方互为逆运算的关系，会用有理数估计一个无理数的大致范围，了解近似数，进一步建立数感与符号意识. 各地中考试题中，实数的考查形式有选择题、填空题和解答题，难度不大.

例8 （浙江∙金华卷）实数[-12]，[-5]，2，[-3]中，为负整数的是（    ）.

（A） [-12] （B） [-5]

（C）2 （D） [-3]

答案：D.

【评析】此题考查实数的分类，实数的分类通常有两种：一种是按概念分类，有理数和无理数统称为实数;另一种是按性质分类，实数包括正实数、0、负实数. 负整数属于整数，整数属于有理数. [-12]是负分数不是整数;[-5]是负无理数不是有理数;2是正整数不是负数;[-3]是负数且是整数，所以[-3]为负整数.

例9 （北京卷）已知432 = 1 849，442 = 1 936，452 = 2 025，462 = 2 116. 若n为整数，且n <[2 021]< n + 1，则n的值为（  ）.

（A）43   （B）44

（C）45     （D）46

答案：B.

【评析】此题考查对无理数的估算，根据乘方与开方互为逆运算的关系，将[2 021]平方后，观察2 021的范围. 求[2 021]在哪两个相邻的整数之间，转化为估计2 021在哪两个相邻整数的完全平方数之间. 根据已知条件中的信息，可得1 936 < 2 021 < 2 025. 开方可得[44<2 021<45].

例10 （四川·资阳卷）若[a=73]，[b=5]，[c=2]，则a，b，c的大小关系为（    ）.

（A）[b<c<a] （B）[b<a<c]

（C）[a<c<b] （D）[a<b<c]

答案：C.

【评析】此题考查对无理数的估算，并进行无理数与有理数的大小比较. 根据立方根和平方根的概念，可得[83=2]，[4=2]. 把2作为比较大小的桥梁，根据[73<83]，[5>4]，可得[73<2<5].

例11 （安徽卷）计算：[4+-10=]______.

答案：3.

例12 （重庆卷）计算：[9-π-10=]________.

答案：2.

【评析】这两道题考查算数平方根的概念和零指数幂的性质. 根据算数平方根的定义，可得4的算术平方根等于2，9的算术平方根等于3. 根据零指数幂的性质，可得任何一个非0数的零次幂等于1，可得[4+-10=2+1=3]，[9-π-10=3-1=2].

例13 （江苏·连云港卷）计算：[83+-6-22].

答案：4.

例14 （浙江·温州卷）（1）计算：[4×-3+][-8-9+70].

（2）化简：[a-52+12a2a+8].

答案：（1） [-6].

（2）略.

【评析】这两道题考查实数的混合运算，题目简洁，难度不大，却内涵丰富. 每道题都包含多种运算，解题时需要明确每一种运算的方法和运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减.

3. 关注代数式的考查

在初中阶段用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃. 形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念，学会各类运算，贯穿于学习数与代数的始终. 在2021年各地的中考试题中，代数式的运算是重点考查的内容. 按照对字母进行的运算，把代数式进行分类：整式中，对字母只实施加法、减法、乘法和乘方运算;分式中，除对字母实施加法、减法、乘法和乘方运算外，以对字母实施除法运算（形式上表现为分母含有字母）为主要特征;根式中，除了对字母实施加法、减法、乘法、除法和乘方运算外，还对字母实施开方运算（形式上表现为根号下含有字母）为主要特征.

代数式的运算考查内容包括代数式的化简与求值;整式的加法、减法、乘法运算;因式分解是整式的一种恒等变形，将整式变换成乘积的形式，提取公因式法和公式法是实施因式分解的基本方法;分式与二次根式的加、减、乘、除运算，其本质是恒等变形. 这部分试题有利于培养学生的分类思想、转化思想、整体思想，有利于培养学生的数感与符号意识，提高学生的运算能力.

例15 （天津卷）计算[4a+2a-a]的结果等于

.

答案：[5a].

例16 （山东∙泰安卷）下列运算正确的是

（  ）.

（A） [2x2+3x3=5x5]

（B） [-2x3=-6x3]

（C） [x+y2=x2+y2]

（D） [3x+22-3x=4-9x2]

答案：D.

【评析】这两道题考查整式的加减、积的乘方、完全平方公式和平方差公式. 例15考查整式的加减，整式的加减实质上是合并同类项，合并同类项的要点：一是“系数相加”;二是“字母连同它的指数不变”. 例16的选项A，根据同类项的概念，可知x2和x3不是同类项，不能合并. 例16的选项B，根据积的乘方运算法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可知[-23=-8]，[-2x3=-8x3]. 例16的选项C，根据完全平方公式，可知[x+y2=x2+2xy+y2]. 例16的选项D，先把第一个括号内的多项式根据加法交换律进行变形，再根据平方差公式，得[3x+22-3x=][2+3x2-3x=4-9x2]，最后进行判断即可.

例17 （云南卷）按一定规律排列的单项式： [a2，][4a3，9a4，16a5，25a6，] …，第n个单项式是（    ）.

（A） [n2an+1] （B） [n2an-1]

（C） [nnan+1] （D） [n+12an]

答案：A.

【评析】此题属于单项式规律探索型问题，考查学生观察、归纳、计算的能力. 解答此题的关键是发现单项式中系数和字母的指数的变化规律. 根据题目中给出的前五个单项式的特征可以发现：单项式的系数是从1开始的正整数的平方，可得系数的规律为[n2]. 字母的指数是从2开始依次加1，可得指数的规律为[n+1]，即可写出第n个单项式为[n2an+1].

例18 （四川∙泸州卷）已知[10a=20]，[100b=50]，则[12a+b+32]的值是（    ）.

（A）2 （B） [52]

（C）3 （D） [92]

答案：C.

【评析】此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、代数式求值和整体思想. 根据幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，可得[10a ∙ 100b=10a ∙ 102b=10a+2b=20×]

[50=1 000=103]. 得到[a+2b=3]. 将所求代数式先提取系数[12]，再整体代入，可得[12a+b+32=a+2b+32=][3+32=3].

例19 （山东·临沂卷）分解因式：[2a3-8a=]________.

答案：[2aa+2a-2].

例20 （广西·贺州卷）多项式[2x3-4x2+2x]因式分解为（    ）.

（A） [2xx-12] （B） [2xx+12]

（C） [x2x-12] （D） [x2x+12]

答案：A.

【评析】这两道题考查多项式的分解因式，分解因式的一般步骤是一提、二套、三查. 一提：先看有无公因式，若有则提取公因式;二套：再看是否符合完全平方公式或平方差公式的特征;三查：检查是否分解彻底，若没有则继续分解因式.

例21 （湖北∙十堰卷）已知[xy=2，x-3y=3]，则[2x3y-12x2y2+18xy3=]_________.

答案：36.

【评析】此题考查因式分解中提公因式法和完全平方公式法，及在代数式求值的过程中应用整体思想. 正确应用数学思想方法往往可以收到事半功倍的效果. 先将所求多项式因式分解，得到[2x3y-12x2y2+18xy3=]

[2xyx-3y2]. 再将已知条件[xy=2，x-3y=3]整体代入，可得[2xyx-3y2=2×2×32=36].

例22 （天津卷）计算[3aa-b-3ba-b]的结果是（    ）.

（A）3              （B） [3a+3b]

（C）1              （D） [6aa-b]

答案：A.

【评析】此题考查同分母分式的减法和提公因式法分解因式. 先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式，最后约分化简即可. [3aa-b-3ba-b][=3a-ba-b][=3].

例23 （江苏·苏州卷）已知两个不等于0的实数[a]，[b]满足[a+b=0]，则[ba+ab]等于（    ）.

（A）[-2] （B）[-1]

（C）1 （D）2

答案：A.

【评析】此题考查分式的化简求值，主要有两种方法. 方法1：先將[a+b=0]变形得[a=-b]. 然后将[a=-b]直接代入[ba+ab]中，可得[ba+ab=b-b+-bb=-1-1=-2]. 方法2：先将所求式子变形，得到[ba+ab=b2+a2ab]. 观察已知条件，给出的是两数的和的形式，观察变形后的所求式子，分子是两数的平方和的形式，分母是两数的积的形式，可以考虑应用完全平方公式，得到[ba+ab=a+b2-2abab=0-2abab=-2]. 这种方法应用了异分母分式的加法、完全平方公式、整体代入思想. 灵活应用配方法是解题的关键.

例24 （浙江·丽水卷）要使式子[x-3]有意义，则x可取的一个数是__________.

答案：4（答案不唯一，[x≥3]）.

【评析】此题是一道开放性问题，答案不唯一，考查二次根式有意义的条件，解题的关键是要明确二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，再结合一元一次不等式，可解得[x≥3.] 在此范围内取一个数即可.

例25 （上海卷）下列实数中，有理数是（    ）.

（A） [12] （B） [13]

（C） [14] （D） [15]

答案：C.

【评析】此题考查二次根式的化简、无理数和有理数的定义. 化简二次根式，使被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再根据有理数的定义进行判断. 根据分式的基本性质，分子与分母同时乘一个适当的数或式，可得[1a=aa2=aaa>0]. 所以[12=22]，[13=33]，[15=55]，[14=12]，其中只有[14]是有理数.

例26 （甘肃·武威卷）下列运算正确的是（    ）.

（A） [3+3=3]   （B） [45-5=4]

（C） [3×2=6] （D） [32÷8=4]

答案：C.

例27 （重庆A卷）计算[14×7-2]的结果是（    ）.

（A）7   （B） [62]

（C） [72] （D） [27]

答案：B.

例28 （浙江·杭州卷）下列计算正确的是（    ）.

（A） [22=2] （B） [-22=-2]

（C） [22=±2] （D） [-22=±2]

答案：A.

例29 （山东·临沂卷）计算[-2+2-122-]

[2+122].

答案：[-2].

【评析】这四道题考查二次根式的加、减、乘、除运算，以及[a2]的化简. 要求熟练掌握运算法则，二次根式加减法的关键步骤是合并被开方数相同的二次根式，将系数相加减，结果仍为系数，根指数和被开方数保持不变. 二次根式乘除法的关键步骤是把被开方数相乘除，结果化为最简二次根式. [a2=a=aa≥0，-aa<0][a2]的化简过程把二次根式的问题转化成去绝对值符号的问题. 例29根据算式的结构特征可以逆用平方差公式简化运算，[-2+2-122-2+122=2+]

[2-12+2+122-12-2+12=2+22×][-1=-2].

二、解法分析

例30 （四川∙凉山州卷）[81]的平方根是（    ）.

（A） [±3] （B）3

（C） [±9] （D）9

答案：A.

典型解法：因为[81]= 9，

所以求[81]的平方根就是求9的平方根，

结果为[±3]，

故选A.

【评析】这是一道易错题，这道题出错的主要原因是学生没有准确理解题意，这道题需要进行两步运算，首先计算81的算术平方根，得到结果为9;再计算9的平方根，得到结果为[±3].

有的学生误认为[81]的平方根就是81的平方根，选择了选项C. 有的学生误认为[81]的平方根就是81的算术平方根，选择了选项D. 有的学生计算的是[81]的算术平方根，选择了选项B.

有的学生对[a]，[-a]，[±a][a≥0]这三个符号认识不清，混淆了平方根和算术平方根的概念. [a]表示一个非负数的算术平方根;[-a]表示一个非负数的算术平方根的相反数;[±a]表示一个非负数的平方根.

教学建议：对于平方根的讨论，在复习过程中教师可以从一些具体的数入手，結合数学符号与文字语言进行相关变式训练，注意调动学生思考的积极性，给学生留出时间总结归纳，帮助学生准确理解算术平方根和平方根的概念，进一步认识算术平方根和平方根的联系与区别，并能熟练运算.

例31 （四川∙自贡卷）已知[x2-3x-12=0]，则代数式[-3x2+9x+5]的值是（  ）.

（A） 31 （B） [-31]

（C） 41 （D） [-41]

答案：B.

典型解法：

（方法1）因为[-3x2+9x+5=-3x2-3x-12-31]，

因为[x2-3x-12=0]，

所以[-3x2+9x+5=-3×0-31=-31].

（方法2）因为[x2-3x-12=0]，

所以[x2-3x=12].

因为[-3x2+9x+5=-3x2-3x+5]，

所以[-3x2+9x+5=-3×12+5=-31].

（方法3）因为[x2-3x-12=0]，

所以[x2=3x+12].

所以[-3x2+9x+5=-33x+12+9x+5=-9x-36+][9x+5=-31].

【评析】有的学生看到已知条件[x2-3x-12=0]，会想到用求根公式解出[x=3±572]，然后再将x的值代入所求的代数式中，但是这种方法计算烦琐，容易出错. 我们知道当已知条件中不易求出字母的值，或者求出的字母的值较为复杂时，可以考虑把含有字母的等式整体代入所求代数式中求值.

这道题主要考查整体代入思想，这里给出了三种解法，可以将[x2-3x-12=0]整体代入所求代数式，或者将已知条件变形为[x2-3x=12]或[x2=3x+12]再整体代入. 代入过程中，可以将所求代数式[-3x2+9x+5]整体提取系数[-3]，也可以只将二次项和一次项局部提取系数[-3]，要特别注意在变形过程中常数项的变化. 无论选择哪种方法，计算过程中保持恒等变形尤为关键.

例32 （浙江·台州卷）已知[a+b2=49]，[a2+b2=25]，则[ab]的值为（    ）.

（A）24 （B）48

（C）12 （D） [26]

答案：C.

典型解法：（方法1）因为[a+b2=a2+b2+2ab]，

因为[a+b2=49]，[a2+b2=25]，

所以[49=25+2ab].

所以[ab=12].

（方法2）因为[a+b2=a2+b2+2ab]，

所以[ab=12a+b2-a2+b2].

因为[a+b2=49]，[a2+b2=25]，

所以[ab=49-252=12].

【评析】此题考查利用完全平方公式和整体代入法求代数式的值，牢记完全平方公式是关键. 这道题可以选择直接代入法，也可以选择将完全平方公式进行恒等变形，再整体代入求值. 在计算过程中，有的学生漏掉了公式中[2ab]的系数2，错选选项A. 有的学生记错了公式中[2ab]前面的符号，无法选出正确答案.

教学建议：教师在复习完全平方公式时，提醒学生要牢记两个公式的特征，[a+b2=a2+2ab+b2]，[a-b2=a2-2ab+b2]，公式的左边是二项式的平方，公式的右边是一个三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式两项积的2倍. 如果公式的左边是两个数的和，那么右边是它们的平方和加上它们的积的2倍;如果公式的左边是两个数的差，那么右边是它们的平方和减去它们的积的2倍. 可通过口诀巧记此公式：首平方，尾平方，积的2倍在中央.

例33 （重庆卷）计算：（1）（x - y）2 + x（x + 2y）;

（2）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4].

答案：（1）略;

（2）[2a-2].

典型解法：（1）略.

（2）（方法1）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[a+2a+2-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[2a+2 ∙ a+22a+2a-2]

=[2a-2].

（方法2）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[a+2a+2-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[2a+2 ∙ a+2a-2]

=[2a-2].

（方法3）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[1-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[1-aa+2 ? a+2a-2]

=[a+2a-2-aa-2]

=[2a-2].

【评析】此题考查分式的混合运算，计算过程中常见的错误有：在计算括号内的减法时，通分的过程中1应该转化为[a+2a+2]，有的学生误写成[1a+2];在计算除法运算时，应该将除法转化为乘法运算，把除式的分子、分母颠倒位置与被除式相乘，有的学生没有颠倒分子、分母的位置造成计算错误;有的学生没记牢平方差和完全平方公式，在计算的过程中出现错误.

教学建议：教师在复习分式混合运算的过程中，强化学生的四种意识.（1）顺序意识：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.（2）转化意识：分式的除法运算要转化成乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减.（3）因式分解意识：若分子、分母中有多项式，应先因式分解.（4）约分意识：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式.

三、试题解法欣赏

例34 （四川·眉山卷）观察下列等式：

[x1=1+112+122=32=1+11×2];

[x2=1+122+132=76=1+12×3];

[x3=1+132+142=1312=1+13×4];

……

根据以上规律，计算[x1+x2+x3+…+ x2 020-2 021=]的值为______.

答案：[-12 021].

分析：此题设计精巧，题目呈现形式由特殊到一般，内容涉及分数、分式、二次根式、有理数运算、分式运算、二次根式的运算，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力. 解题的关键是根据已知条件中数的特征找到规律，计算过程中需将[1nn+1]进行裂项，然后再求和，实际上考查了学生逆向思维的能力.

解：观察所给等式的特征，总结规律，可得[xn=1+1n2+1n+12=nn+1+1nn+1=1+1nn+1].

所以[x2 020=1+12 020×2 021].

所以[x1+x2+x3+…+x2 020-2 021=1+11×2+1+][12×3+1+13×4+…+1+12 020×2 021-2 021=2 020+][1-12+12-13+13-14+…+12 020-12 021-2 021=2 020+]

[1-12 021-2 021=-12 021.]

例35 （安徽卷）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.

【观察思考】

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）;当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）;……;依此类推.

【规律总结】

（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加的块数为       ;

（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为

（用含n的代数式表示）.

【问题解决】

（3）现有2 021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖的块数为多少？

答案：（1）2;

（2） [ 2n+4];

（3）1 008.

分析：解决图形变化规律的问题，可以从“形”和“数”两个角度入手，逐一看图，观察、分析、归纳图形或数字的变化规律.

解：（1）（方法1）通过观察和计数的方法可知，

图2中正方形地砖的块数为1，等腰直角三角形地砖的块数为6;

图3中正方形地砖的块数为2，等腰直角三角形地砖的块数为8;

正方形地砖的块数为3，等腰直角三角形地砖的块数为10;

……

依此类推，每增加1块正方形地砖，等腰直角三角形地砖增加2块.

（方法2）通过观察图2和图3中图形的整体特征，

可得图3比图2增加1块正方形地砖和2块等腰直角三角形地砖，

依此类推，每增加1块正方形地砖，等腰直角三角形地砖增加2块.

（2）（方法1）当正方形地砖的块数为1时，等腰直角三角形地砖的块数为6.

由（1），可得规律：如表1，每增加一块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块.

代数式[6+2n-1=2n+4].

所以当人行道有n块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖有[2n+4]块.

（方法2）通过观察图2和图3的图形特征可知，

两幅图的左右两侧各有1块等腰直角三角形地砖，这2块地砖的数量不随正方形地砖数量的增加而变化.

除了这2块等腰直角三角形地砖以外，当图中有1个正方形时，它的左右两侧共有2个8字形地砖（每个8字形地砖由上下2个等腰直角三角形地砖组成）.

当图中有2个正方形时，它们的周围共有3个8字形地砖.

如表2，依此类推，当图中有n个正方形时，它们的周围共有[n+1]个8字形地砖.

代数式[2+2n+1=2n+4].

所以当人行道有n块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖有[2n+4]块.

（3）令[2n+4=2 021]，

得[n=1 008.5].

因为n是正整数，

所以当[n=1 008]时， [2n+4=2 020，] [2 021-2 020=1.]

此时剩下1块等腰直角三角形地砖，等腰直角三角形地砖剩余最少.

答：需要正方形地砖1 008块.

在2021年全国中考试题中，各地命题人员关注到“数与式”内容的思想性及可以引发深入思考的价值，设计了非常好的试题. 我们不仅通过测试结果关注学生答案的对错，更重要的是判断学生思维过程是否有道理，是否合乎逻辑. 我们研究全国各地中考试题的考点和解法，不仅是为了研究中考本身，更是探寻教学与评价的内涵，探索如何在教学中发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的育人资源，提高学生数学素养，发展思維能力，培育理性精神，让学生在获得数学知识的同时，学会思考，成为善于认识问题和解决问题的人，培养学生的创新精神和实践能力，使学生的智慧得到发展.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]刘金英，贯忠喜，何志平. 2011年中考数学试题分类解析：数与代数[J]. 中国数学教育（初中版），2012（1 / 2）：37-49.

[3]王松，周一敏. 2016年中考“数与式”专题解题评析[J]. 中国数学教育（初中版），2017（1 / 2）：33-40.

[4]苏德杰. 2017年中考“数与式”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2018（1 / 2）：29-36.