例谈分式函数值域的几种求法

娄爱玉

函数的值域问题十分常见，其中分式函数值域问题较为复杂，采用常规的方法通常很难快速求得函数的值域.那么，如何求解分式函数值域问题呢？通过研究，笔者找到了三种求分式函数值域的方法，下面结合实例进行探讨.

一、分离常数法

当遇到形如 f（x）= 、f（x）= 的分式函数时，可采用分离常数法来求其值域.先把分子凑成分母的倍数，然后将常数从分式中分离出来，最后求分离后分式的值域，即可求原函数的值域.

例1 .求函数 y = （x - 1） 2 x 2 + 1 的值域.

解答本题，要先将题目中所给的函数式进行变形，使其整式与分式分离；再分 x =0、x >0、x <0三种情况讨论 x + 的最值；最后运用基本不等式求x + 的最值，即可求得函数的值域.

二、判别式法

判别式法常用于求解形如 y =（a2+ d2≠0）的分式函数最值问题.在求最值时，要先把 y 看作参数，将函数式变形为关于 x 的一元二次方程；然后根据一元二次方程有实根，得到判别式△≥0；最后通过解不等式，求 y 的取值范围，从而确定原函数的值域.

例2.求函数 y = 的值域.

运用判别式法求函数的值域，需注意函数的定义域是实数 R ，不能是其某个子区间.

三、换元法

换元法是解答数学问题的常用方法之一.在求分式函数的值域时，可将分式中的某个部分用一个新元替换，以便将复杂的函数式简化，通过求关于新元函数的最值，求得原函数的值域.

例3.求函数 f（x）= 的值域.

令 x = tan θ，便可将关于 x 的二次分式转化为关于θ的一次分式，再通过三角恒等变换，将函数式化简为正弦函数式，从而利用正弦函数的有界性和单调性求得函数的值域.运用换元法，可将函数式简化，从而达到化繁为简的效果.

求解分式函数值域问题的方法还有很多，上面谈及的三种解题方法都是比较常用的.在解题时，我們不能生搬硬套，要仔细观察目标函数式，根据函数式的结构特点，选择最为合适的一种方法来解题，这样才能真正提升解题的效率.

（作者单位：江苏省吴江中学）