运用参数方程求双曲线弦长

2022-03-18 22:26郝秋梅
中学教学参考·理科版 2022年1期
关键词:参数方程弦长双曲线

郝秋梅

[摘 要]求双曲线的弦长是几何与代数的综合运用,也是高中数学的考點和难点之一。运用双曲线的参数方程求弦长,不但能简化计算过程,而且能提高计算准确率,锻炼学生的数学思维和数学运算能力。

[关键词]参数方程;双曲线;弦长

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2022)02-0014-03

参数方程是以参变量来表示曲线上点的运动轨迹的坐标方程,是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。双曲线是高中数学的重要组成部分,与向量、解析几何、直线方程等知识联系紧密。在教学中,教师基本上只讲解用公式[AB=1+k2x2-x1=1+1k2y2-y1]求解弦长,其他方法一概略过。在考试中,一旦双曲线方程或弦所在直线方程复杂、不易化简时,采用传统解法(联立双曲线方程与弦所在直线方程,再利用韦达定理和两点间距离公式)求解,会使计算难度增加,求解过程烦琐,学生往往会因为计算量过大而半途而废或出错。为了解决此类问题,本文引进参数方程求解双曲线的弦长。虽然定理证明过程比较复杂,但结论比传统解法更加简洁,同时也体现了解决数学问题方法的多样性。

一、性质推导

性质1 直线l:[y=kx+m]过双曲线[x=acos φ,y=btan φ]([φ]为参数)的焦点[F2(c, 0)]与双曲线交于[A],[B]两点,则[l]被双曲线截得的弦长[AB=2ab2(1+k2)b2-k2a2]。(如图1)

证明:设[A(asec φ1, btan φ1)],[B(asec φ2, btan φ2)]。

因为直线[l]的斜率为[k=b(tan φ2-tan φ1)a(sec φ2-sec φ1)],则[tan φ2-tan φ1=kab(sec φ2-sec φ1)]。

故弦长[AB=]

[(asec φ2-asec φ1)2+(btan φ2-btan φ1)2=a1+k2sec φ2-sec φ1]。

因为直线[l]与直线[AF2]的斜率相同,即[k=btan φ1asec φ1-c],所以[tan φ1=kb(asec φ1-c)]。

又由[sec2φ1=1+tan2φ1],得[sec2φ1=1+k2b2(asec φ1-c)2]。

化简得[1-k2a2b2sec2φ1+2k2acb2sec φ1-k2c2b2-1=0],该式是关于[sec φ1]的一元二次方程。

根据一元二次方程的判别式得,[Δ=2k2acb22-41-k2a2b2-k2c2b2-1=41+k2>0],

故该一元二次方程有两个不相等的实根,即

[sec φ1=-k2ac±b21+k2b2-k2a2]。

令[sec φ1=-k2ac+b21+k2b2-k2a2],则由双曲线参数方程的性质得[sec φ2=-k2ac-b21+k2b2-k2a2]。

因此,弦长[AB=a1+k2sec φ2-sec φ1=2ab2(1+k2)b2-k2a2]。

性质2 直线[l]:[y=kx+m]与双曲线[x=acosφ,y=btanφ]([φ]为参数)交于[A],[B]两点,且与[x]轴交于点[C],则[l]被双曲线截得的弦长[AB=2ab(1+k2)(m2-k2a2+b2)b2-k2a2]。(如图2)

证明:当[k≠0]时,设[A(asec φ1, btan φ1)],[B(asec φ2],[btan φ2)]。

因为直线[l]的斜率为[k=b(tan φ2-tan φ1)a(sec φ2-sec φ1)],所以[tan φ2-tan φ1=kab(sec φ2-sec φ1)]。

故弦[AB=]

[(asec φ2-asec φ1)2+(btan φ2-btan φ1)2=a1+k2sec φ2-sec φ1]。

因为直线[l]与[x]轴交于[C]点,所以[C-mk, 0]。

又直线[l]与直线[AC]的斜率相同,即[k=btan φ1asec φ1+mk],所以[tan φ1=kabsec φ1+mb]。

又由[sec2φ1=1+tan2φ1],得[sec2φ1=1+kabsec φ1+mb2],

化简得[1-k2a2b2sec2φ1-2kamb2sec φ1-m2b2-1=0],该式是关于[sec φ1]的一元二次方程。

根据一元二次方程的判别式得

[Δ=-2kamb22-41-k2a2b2-m2b2-1=4(m2-k2a2)b2+4=4m2k2-a2b2k2+4>0]。

故该一元二次方程有两个不相等的实根,即

[sec φ1=kam±bm2-k2a2+b2b2-k2a2]。

令[sec φ1=kam+bm2-k2a2+b2b2-k2a2],则由双曲线参数方程的性质得

[sec φ2=kam-bm2-k2a2+b2b2-k2a2]。

因此,弦长[AB=a1+k2sec φ2-sec φ1=2ab(1+k2)(m2-k2a2+b2)b2-k2a2]。

当[k=0]时,双曲线的弦长就变为[AB=2ab2+m2b],满足上述公式。

性质3 直线[l]:[x=m]与双曲线[x=acos φ,y=btan φ]

([φ]为参数)交于[A],[B]两点,且与[x]轴交于点[C],则[l]被双曲线截得的弦长[AB=2bm2-a2a]。(如图3)

证明:当[m≠c]时,设[A(asec φ, btan φ)],[B(asecφ], -btan [φ])。

因为直线[l]与[x]轴交于[C]点,所以[C(m, 0)]。

由图可知[asec φ=m],则[sec φ=ma]。

又由[sec2φ=1+tan2φ],得[tan2φ=m2a2-1=m2-a2a2 ]。

因此,弦长[AB=2atan φ=2bm2-a2a]。

当[m=c]时,弦[AB]是双曲线的通径,即[AB=2b2a]。

二、应用提升

[例1]过双曲线[x=1cosθ,y=3tanθ]([θ]为参数)的左焦点[F1],作倾斜角为[π6]的直线[AB],其中[A, B]分别为直线与双曲线的交点,则[AB]的长为                  。

解:由题意知[a=1, b=3],[∵]直线[AB]的倾斜角为[π6],[∴k=tanπ6= 33]。

则由性质1得

[AB=2×1×32×1+33232-332×1=3]。

评注:本题是求解双曲线的焦点弦问题,已知[a, b]和直线的倾斜角,求弦长[AB]。若采用传统解法(联立双曲线方程与直线方程,再结合韦达定理求解)会导致计算量过大,给解决问题增加难度,但运用性质1求解则会降低难度,大大简化计算过程。

[例2]已知双曲线[C]:[x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)]的左、右焦点分别为[F1, F2],离心率为3,直线[y=2]与[C]的两个交点A、B间的距离为[6]。则双曲线[C]的标准方程为                    。

解:由题意知[e=ca=3,AB=2ab2+m2b⇒]

[b2+a2a2=9,2ab2+22b=6⇒a=1,b=22。]

故双曲线[C]的标准方程为[x2-y28=1]。

评注:本题求的是双曲线的标准方程,实际上就是求出[a, b]的值,利用离心率、弦长公式以及[c2-a2=b2]得到有关[a, b]的方程组,从而解出[a]和[b]。弦长公式是解决本题的关键,若学生不能熟练运用弦长公式,则会加大解题难度、增加计算量。

[例3]已知直线[l]:[y=kx+1]与双曲线[C]:[x=33cosθy=tan θ],([θ]为参数)交于[A, B]两点,若[AB=43],求[k]的值。

解:由题意知[a=33, b=1, m=1]。由性质2得[43=2×33×1×(1+k2)1-k23+11-k23],

即[13k4-77k2+102=0],所以[k=±2]或[k=±66313]。

评注:本题已知双曲线的参数方程和弦长求直线的斜率[k],值得注意的是直线[l]恒过点[(0, 1)],它是双曲线虚轴上的一个顶点,这说明直线的斜率一定存在。运用性质2可求得直线[l]的斜率[k]。这样不但能简化计算过程,而且能提高学生的解题速度与准确率,有助于培养学生的数学学科核心素养。

由于双曲线具有3种不同形式的参数方程,所以它的弦长公式的表达形式也各不相同。本文仅介绍了其中一种类型的双曲线弦长公式及应用,该弦长公式可起到化繁为简的作用,对于提升学生分析问题与解决问题的能力有一定的帮助。其中性质1是双曲线的焦点弦公式(无论直线与双曲线的哪一支相交,都可用该公式求解),它的优点是计算量小,[a, b, k]及弦长[d]可知三求一。性质2适用于解决不经过焦点的一般类弦长问题,应用比较灵活和广泛。性质3适用于直线斜率不存在时求弦长的问题,它形式简单、容易记忆。

以上3条性质都有它的使用条件,在解题的过程中我们要具体问题具体分析,根据题目已知条件选择对应的弦长公式和解题方法,这样既能让学生提高解题效率,又能锻炼学生的数学思维和数学运算能力。

[   参   考   文   獻   ]

[1]  方志平.椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用[J].中学数学,2011(13):49-51.

[2]  潘继军,张海芳,李荣玲.圆锥曲线焦点弦的几个重要结论[J].科教导刊(下旬),2020(15):46-47.

[3]  刘志新.换个“角度”求椭圆弦长[J].数学教学,2009(1):22-23.

[4]  钟德光,蔡方明,陈宇鹏.求椭圆弦长,方法知多少?[J].理科考试研究,2018(7):21-23.

(责任编辑 黄桂坚)

3648501908297

猜你喜欢
参数方程弦长双曲线
浅谈圆锥曲线三类弦长问题
弦长积分的极限性质与不等式
弦长积分的极限性质与不等式
把握准考纲,吃透双曲线
双曲线的若干优美性质及其应用