密立根油滴实验问题三则

肖 勇，董 键

(曲阜师范大学 物理工程学院，山东 曲阜 273165)

密立根油滴实验是一个有百年历史的经典实验，它所揭示的电量量子化有重大的科学意义. 该实验因为能直观地证明电量量子化，被选入大学物理实验，被一代代大学生所尊崇和重复，产生了良好的教学效果. 但是，该实验在教学上的问题依然很多，需要进一步研究和澄清. 本文将研究3个问题：元电荷的测量值偏差较大问题，元电荷的“目标函数”求解方法问题，以及油滴仪上紫外灯的使用方向问题，以期对做好油滴实验有所帮助.

1 元电荷的测量值偏差较大

油滴教学实验仪的设计生产参差不齐，而且使用久了性能也会发生一些变化，会导致所测量到的元电荷值偏离物理常数推荐值，这个现象并非罕见. 以笔者所在实验室为例，就有两个批次的MOD5型油滴仪存在此类现象. 为了研究此现象，笔者采用“平衡测量法”测量油滴电量，喷油采用701钟表油，所测量的油滴超过300个，电量q的计算采取如下精确公式[1]：

27bglp2ρη0t-2b3g2ρ2t2]

(1)

其中，U表示平衡电压，t表示油滴下落距离l所用的时间，U和t是要测量的量，q=q(t,U)；其余的参量在测量中要保持常数，d表示两电极板之间的距离，g表示重力加速度，ρ表示油的密度，p表示大气压，η0表示空气黏度，b表示黏度修正常数，b=8.23×10-3m·Pa.实验温度取18 ℃，气压取1.011×105Pa，是记录的气象条件的中间值.

图1是使用期超过20年的油滴仪所测电量的分布图，横轴表示油滴编号，纵轴表示电量.电量呈现明显的分组性，这是量子化的表现.求得每组电量的平均值，对平均值分布进行线性拟合，拟合线的斜率即是元电荷e的值，结果见图2，e=1.481×10-19C.这比最新国际推荐值[2]1.602176634×10-19C小了7.55%，偏离是明显的，其原因值得追究.

图1 油滴电量量子化分布

图2 油滴分组电量平均值的分布

根据式(1)，与电量q相关的变量有ρ、η0，它们随温度而改变，p随气压而波动，这会造成偶然误差，不是系统误差.电压U和时间t的测量会造成偶然误差，但它们的精度，经过校验，分别在1 V和0.1 s以内，不会造成那么大的系统偏差.重力加速度g采取当地的测量值，g=9.797 m/s2，也不能导致那么大的偏差.最后，笔者怀疑是对油滴的计时距离l的取值出了问题.在说明书上，屏幕上分划板水平格线之间的垂直距离是0.5 mm，取4个格，l=2 mm，见图3，在计算电量时，就按2 mm代入的，这个值可能不对，也就是说，表面上看油滴是下落了4个格，但实际距离可能不是2 mm.为了检验这个猜想是否正确，将l在1.8 mm～2.2 mm范围内取若干值，依次代入式(1)计算电量和求元电荷，结果见图4，距离l对元电荷的计算值有显著影响，当l=2.105 mm时，对应的元电荷最接近1.602×10-19C.

图3 监视器上分度线

图4 对e与l关系的模拟计算

那么，为什么油滴下落的表观距离与实际距离不一致呢？ 原因是：显微镜内置分划板刻度不准，与物镜焦距配合不协调，这可以用尺子来核对，实际观测到尺子的刻度缩短了，相应地，走过分划板上规定的距离被拉长.这在早期带CCD的油滴仪上很难避免. 在后来批次的MOD5油滴仪上，显微镜不带分划板了，改在监视器屏幕上贴纸，上面画有分度线，这样做，需要贴纸分度线与监视器的垂直偏转系统相协调，也不容易做到精确，难以长期保持稳定. 另外，测量过程中，通常不会频繁调焦，油滴像模糊一点也凑合着测，此时油滴在焦点之外，视角变小，若在此处开始下落，距离在表观上被缩短，下落规定的距离被拉长[3].

2 “李炜疆目标函数法”求元电荷

前面用电量的分组平均拟合法求得了元电荷e，方法自然而简单.下面再介绍另一种求元电荷的方法，笔者称之为“李炜疆目标函数法”(以下简称“目标函数法”).其思路是：理论上假定测量对象是某个值的整数倍，对该值呈周期性，但是，测量值又不精确再现这种周期，通过设计合适的“目标函数”，用统计方法求得该周期[4].此法与各种拟合方法求函数参数有异曲同工之妙，值得在油滴实验中介绍和推广，以期与现行的油滴实验数据的各种处理方法相对照[5-7].下面介绍“目标函数法”的用法.

“目标函数法”先要构造一个目标函数φ，形式如下：

(2)

它以元电荷e为自变量，求和遍及所有测量的油滴电量，总数是N.式(2)中，σqi是电量qi的标准差，它可以根据误差传递公式进行计算:

(3)

由于时间t的测量与油滴所带电量多少无关，只与油滴大小有关，可以抓取任何油滴反复测量其下落时间，得到不同平均时间下的标准差分布曲线，做法见文献[1]，本文重新对其测量，拟合得到标准差分布函数为

σt=0.023 3t-0.001 24t2+0.000 026 7t3

(4)

至于σU，由于

(5)

与油滴的大小和所带电量的多少有关，对同一个U，可以有质量很不相同的油滴，它们的布朗运动有很大差异，导致U的起伏大小很不相同，U的标准差很难测算，σU只能估计，例如取电压表的测量精度1 V，或者根据实验经验，取不同时刻油滴偶然静止时的平衡电压差值的量级10 V代入计算，发现所得元电荷e的值对此并不敏感.

在以下讨论中，电量均去掉了10-19C的量级.图5是取σU=1V时φ(e)的约化分布曲线，图6是其低端横向放大图，两图结合，可以看出，e>6.68，曲线单调下降，没有值得注意的结构存在.当e<6.68，曲线有多次振荡，有一系列“探底”的极小值，最深的极小值在e=1.479附近，它很接近分组平均拟合法得到的元电荷1.481，差别只有0.13%，可以认为此处对应元电荷的值；从该点往左看，各极小值位置ei见表1，ei/e1接近整数的倒数1/i，表明这些位置对应e1的分数电荷，e1是最大的电荷周期.可见“目标函数法”不仅能揭示元电荷的存在，还能揭示分数电荷的存在，这是电量数据隐含周期结构的必然结果.换言之，“目标函数法”不仅是计算元电荷的方法，同时也以独特的方式展示了电荷量子化.另外，能连续出现6个清晰的“探底”极值，表明电量的测量误差不大，所以，“目标函数法”还是检验油滴实验测量误差大小的“试剂”.

图5 目标函数曲线概貌

图6 低端目标函数曲线

表1 目标函数“探底”极值位置及其比值

3 通过紫外线电离油滴证明电量量子化

油滴实验中，通过火花放电、紫外线或者激光，都可以改变油滴所带的电量[8-10].MOD5型油滴仪上带有汞灯，对油滴进行了紫外电离的实验.根据测量经验，寻找带一个正电荷的油滴，测量其初始平衡电压U1，然后开启紫外灯，照射油滴，待油滴有了上升的迹象，停止照射，重新测量其平衡电压U2，然后再开启紫外灯照射油滴，如此反复，可以观察到油滴多次被电离的现象，记录每次电离后的平衡电压Ui.假设在实验过程中油滴的质量m没有变化，每次测量平衡时油滴的电量为qi，则有

(6)

(7)

式(7)/(6)得

(8)

(9)

若式(9)成立，反过来就证明油滴电量是量子化的.为此，对5个油滴进行紫外电离的实验，所测量的平衡电压见表2，比值U1/Ui见表3，n是油滴编号.比值分布见图7，其呈现了明显的阶梯性，展现了电量量子化的又一种有效的证明方法.过去只把紫外电离作用当做改变电量的手段，油滴实验还是按传统方法进行，现在看来，只需测量平衡电压，就可以使电离实验成为证明电量量子化的新手段.

表2 油滴每次电离之后的平衡电压分布

表3 油滴初始平衡电压与电离之后的平衡电压比值

图7 比值U1/Ui的量子化分布

4 总结

油滴仪的设计存在缺陷，反映在元电荷测量值对国际推荐值的偏差上，可以通过模拟与电量有关的因素找到偏差的原因，其中，油滴实际下落距离误差的影响尤其显著，另一个影响因素是实验者疏于对油滴成像的调焦.

油滴仪上的紫外灯可以成为检验电量量子化的新手段，前提是要找到带一个电荷的油滴，对其逐次用紫外线进行电离，测量每次电离后的平衡电压，电压的比值隐含着量子性.

李炜疆“目标函数法”从油滴电量数据中提取元电荷，是揭示量子化的有效方法，该方法采用的“目标函数”概念有启发性.使用“目标函数法”需要编程计算，因为电量的方差计算是复杂的，目标函数的计算也是复杂的，目标函数求极值也需要编程，如若编好程序供调用，将会是一种系统化的方法，可以快速得到元电荷的值，并检验测量数据的误差大小.