边缘增强的双密度双树复小波阈值滤波器

顾牡丹， 周辉奎

（1.江西现代职业技术学院信息工程学院，南昌 330095；2.江西旅游商贸职业学院艺术传媒与计算机学院，南昌 330100）

0 引 言

高斯噪声是成像过程中一种常见的噪声，对图像中所有像素都有不同程度的破坏，其严重影响图像的处理和分析，并且有效去除高斯噪声异常艰难［1］。Buades等［2］提出非局部均值滤波算法，用图像中所有像素的非局部均值作为像素的灰度估计值。但是非局部均值滤波耗时较多、计算效率低。于是，Zhou 等［3］提出一种快速的非局部均值滤波算法，利用像素权重的对称性来减少计算量。Dabov等［4］提出一种基于稀疏三维变换域的协同滤波算法（BM3D），BM3D 在图像去噪领域具有里程碑的意义。为了改善非局部均值滤波中图像块的相似性计算和提升去噪性能，Cai等［5］提出了一种精确的块匹配算法。鉴于高斯滤波核的各向同性导致不能正确反映图像的边缘和结构信息，Jia等［6］提出了基于局部边缘方向的非局部滤波算法，用方向核回归系数计算边缘和结构区域像素的权重。

Aghajarian等［7］将深度学习引入到高斯噪声的去除中，用包含3 个训练过程的训练模型去除各种强度的高斯噪声。Majed等［8］提出一种基于深度学习的贝叶斯盲去噪方法。但是基于深度学习耗时较多，计算效率较低，难以满足图像处理的实时性要求。鉴于双边滤波的边缘保持性能，Wu 等［9］提出一种双范围域核的加权双边滤波器。针对部分文献牺牲去噪性能以提升双边滤波的计算效率，Chen 等［10］提出一种高斯自适应双边滤波器，其基本思想是通过高斯空间核获取低通制导，为后续的双边复合制导提供一个干净的高斯范围域核。

鉴于小波变换具有多分辨率分析和时频局部化分析等优点，部分学者提出了小波域的滤波方法［11］。然而，小波变换本身具有固有的缺陷：平移敏感性、缺乏方向选择性和频率混叠等。于是，Selesnick 等［12］提出了双树复小波变换的框架；部分学者提出了基于双树复小波变换的去噪方法。Mansoore 等［13］根据最大后验估计将二元瑞利分布的重尾尺度混合作为无噪小波系数幅值的先验分布，并充分利用相邻小波系数的相关性，以提升去噪效果。Lavanya 等［14］将神经网络和自然优化算法以及双树复小波结合，将由神经网络和自然优化算法推导出的阈值运算用于小波去噪处理。

现有的滤波方法未能在去除噪声的同时有效地恢复图像的边缘和细节，但未能在去除噪声，本文提出了边缘增强的双密度双树复小波阈值滤波器，从而进一步提高高斯噪声的去除效果，更好地保持和恢复图像的边缘细节，同时实现图像去噪的实时计算。

1 图像处理方案

本文用边缘增强的双密度双树复小波阈值滤波器处理图像的方法有如下3 个步骤：①用双密度双树复小波变换对含噪图像进行分解，得到小波系数；②用提出的可导的阈值函数与自适应阈值对小波系数进行量化处理，去除噪声，然后作双密度双树复小波逆变换，得到去噪图像；③用拉普拉斯算子对去噪图像进行边缘增强，得到边缘增强的去噪图像。

2 图像滤波器基本原理

2.1 双密度双树复小波变换

小波变换具有多分辨率分析和时频局部化分析等优点，但是小波变换带有与生俱来的缺陷：振荡性、平移敏感性、频率混叠和方向选择少。因此，用双树复小波变换［12］，克服小波变换固有的缺陷。复小波变换表达式：

式中：t为时间变量；ψr（t）和jψi（t）分别为偶数值的实部和奇数值的虚部。

双树复小波变换的实部和虚部分别由两路小波变换、分别使用两组独立的高、低通滤波器实现，如图1所示。用图1 分析滤波器组对图像进行多尺度分解，分别得到实部和虚部的各尺度的低、高频小波系数。其中，f0（n）和f1（n）表示实部的共轭正交滤波器对，F0（n）和F1（n）表示虚部的共轭积分滤波器对，↓2表示隔点采样。分别与f0（n）和f1（n）对应的尺度函数φr（t）和小波函数ψr（t）的定义为

图1 双树复小波变换的滤波器组

分别与F0（n）和F1（n）对应的虚数值尺度函数φi（t）和小波函数ψi（t）的定义为

鉴于双密度小波变换具有更好的重构性和平移不变性，将双密度小波变换引入到双树复小波变换中，提出了双密度双树复小波变换［15］。双密度小波变换利用1 个低通滤波器f0（n）和2 个高通滤波器f1（n）和f2（n）实现小波变换。相对于小波变换，双密度小波变换的每尺度分解为1 个低频和2 个高频系数，即：

双密度双树复小波变换的滤波器组如图2所示，对图像进行变换时，实部和虚部在各尺度上分别得到1个低频系数和2 个高频系数。与双树复小波滤波器组相比，在各尺度上分别多产生1个高频系数。高频系数表述图像的边缘细节，如此，双密度双树复小波滤波器组产生比双树复小波滤波器组更多的方向选择性。双密度双树复小波变换除了具有小波变换的多分辨率分析和时频局部化分析等优点，还具有平移不变性和多方向选择性，能更有效地对图像进行稀疏表示，避免频率振荡现象，突出显示图像的特征和细节纹理结构。

图2 双密度双树复小波变换的滤波器组

2.2 阈值去噪模型

2.2.1 可导的阈值函数

最初用于小波阈值去噪的方法为硬阈值函数和软阈值函数：

式中：w为阈值处理前的小波系数；Φh（w）和Φs（w）为阈值处理后的小波系数；sign（）为符号函数。其中，函数（X）＋定义为

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统一阈值

式中：σ为噪声强度；N为小波系数数量。

如图3 所示为硬、软阈值函数的图像曲线，其中：虚线为辅助线，实线为函数图像，横坐标w 为原小波系数，纵坐标Φ（w）为对w 量化处理后的小波系数。很明显，硬阈值函数将绝对值小于阈值T 的系数看作噪声系数而置零，在阈值T 处将小波系数截断，其余系数保持不变。因此，去噪处理后的小波系数出现断层，给图像引入伪吉布斯现象。软阈值函数虽然连续，但是其将所有的系数减去1 个阈值量，破坏了原始图像的信息，去噪图像产生明显的模糊效果。另外，硬、软阈值函数所用的阈值T缺乏鲁棒性，用统一的阈值去处理所有尺度的小波系数，忽略了无噪小波系数的特征。因此，本文提出了一种平滑可导的阈值函数

其图像曲线如图3（c）所示。阈值函数Φ（w）具有优良特性：①Φ（w）在整个定义域上连续，保证了小波系数的连贯性，避免出现系数振荡以致去噪图像出现振铃现象。克服了硬阈值函数的缺陷。②在小波系数的绝对值大于阈值T 的定义区间上，Φ（w）高度拟合原小波系数，有效保持了无噪小波系数的原始信息。克服了软阈值函数的缺陷。③Φ（w）处处可导，具有良好的数学性质。去噪后的小波系数具有连贯性和平滑性，能够保持图像的视觉自然。

图3 硬、软阈值函数与可导的阈值函数

2.2.2 自适应阈值

对于不同的分解尺度，噪声的小波系数表现出不同的特征。大部分的噪声分布于大尺度分解的小波系数中，随着分解尺度的细化，噪声的小波系数幅值变小，因此，在统一阈值（11）的基础上，本文提出了反比于分解尺度的自适应阈值

式中，i为分解尺度。阈值Ti顺应分解尺度的细化，随着分解尺度的细化，逐步降低阈值的大小，有效保护了部分小幅值的无噪系数。

2.3 拉普拉斯边缘增强

所有的图像滤波算法都难以避免的问题就是图像模糊。对图像的去噪处理，就是将噪声的影响去除，尽可能地恢复图像的原始信息，但是由于噪声本身的破坏以及去噪处理中的误操作，难免会对图像的细节和纹理结构造成一定的破坏。因此，本文对去噪图像进行后增强处理，以恢复图像的细节和纹理结构。

对图像进行边缘提取，与1 阶微分相比，2 阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好。又作为2 阶微分算子的拉普拉斯算子是各向同性微分算子，具有旋转不变性。拉普拉斯算子［16］的定义见图4 所示。

图4 拉普拉斯算子

将经双密度双树复小波阈值滤波器去噪处理的图像，用拉普拉斯算子进行边缘提取，然后叠加到去噪图像中，使得被噪声和去噪处理破坏的图像边缘得到一定程度的恢复。这样可以使去噪图像的各灰度值得到保留，同时使灰度突变处的对比度得到增强，最终结果是在保留图像背景的前提下，突出图像的微小细节信息。

3 实验验证与结果分析

为验证所提出方法的有效性和实用性，将所提出方法与文献［4］、［9］、［13］和［14］中提出的方法应用于实验图像，根据实验的效果图、峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）和边缘保持指数（Edge Preserved Index，EPI）［17］以及计算效率进行对比分析。

本文使用Intel i5 CPU 和8GB RAM、系统为Win10 的计算机，Matlab 2013b 软件作为运算平台，实验图像用文献［18］中的部分图像和部分医学图像，见图5 所示。实验步骤为：①用Matlab 语言实现本文方法与文献［4］、［9］、［13-14］中提出的方法；②将用Matlab语言编程实现的本文方法以及参与实验比较的方法应用于含不同强度噪声的图像，以去除噪声；③对由Matlab软件进行实验得出的去噪结果，包括去噪图像、PSNR和EPI值以及算法的计算时间，进行组织和分析，得出实验结论。

图5 实验图像

3.1 不同算法下图像去噪的效果

对低强度噪声，去噪图像有时候难分优劣，因此对去噪图像效果的比较，本文选择较高强度的噪声。对图像boat添加强度σ ＝40 的高斯噪声，各算法对其去噪的效果如图6 所示，各去噪图像对应的PSNR和EPI值在其分标题中标示。文献［13］中的去噪效果较差，模糊效果严重，虽然去除了噪声，但是图像的边缘和细节已被破坏；文献［9］和［14］中的去噪效果类似，能在一定程度上对噪声图像进行有效的恢复，但是它们的模糊效果还是比较明显，边缘细节的恢复效果欠佳；文献［4］中和本文方法的去噪效果较好，整体图像较清晰，文献［4］中方法有明显的平滑效果，而本文方法对边缘细节保持得较好；而从对应的PSNR 和EPI 值可以看出，本文方法稍微优于文献［4］。

图6 在含噪强度σ ＝40时各算法对图像boat的去噪效果

各算法对含噪强度为σ ＝50 的乳腺图像mammogram的去噪效果如图7所示。乳腺图像的背景是平滑区域，只有前景对象含有纹理和边缘。在如此高强度的噪声下，从噪声图像只能看出前景对象的大致轮廓。文献［13］中的效果较差，模糊效果严重，未能有效恢复图像前景对象的纹理和细节；文献［9］和［14］中虽然在一定程度上对图像进行了恢复，但是其模糊效果依然明显，前景对象的部分纹理和细节已丢失；文献［4］中的图像恢复效果较好，但是前景对象出现疙瘩。而本文方法较好地恢复了图像，纹理和细节保持得较好，图像的清晰度较高，根据各分图对应的PSNR和EPI值的比较得出的结论，与视觉效果基本上是一致的。

图7 在含噪强度σ ＝50时各算法对图像mammogram的去噪效果

3.2 各种噪声强度的PSNR和EPI

对图像man 添加不同强度的高斯噪声，各算法对其进行去噪而得的PSNR和EPI值以图像曲线的形式显示如图8 所示。文献［9］、［13-14］中的去噪结果比较接近，有的算法PSNR 高一点，但其EPI 值低一点，但差别不大。文献［4］中和本文方法的去噪结果较好，PSNR值本文方法比文献［4］中的稍高，但是差距不大，而在噪声强度较大时，文献［4］中的EPI 值比本文方法稍高。

图8 各算法对图像man去噪处理结果

各算法对含不同强度噪声的医学图像chest＿xray进行去噪的PSNR和EPI 值如图9 所示。文献［9］中的PSNR和EPI值相对较低，文献［13-14］中的PSNR曲线比较接近，而文献［13］中的EPI值比文献［14］中的高出大约3%，在噪声强度较高时，文献［13］中的对图像的边缘和纹理保持得较好，EPI值较高。相对地，文献［4］中和本文方法的PSNR和EPI值较高，在噪声密度较高时，本文方法的PSNR 值稍微高于文献［4］，而对于EPI值，本文方法与文献［4］中的相差不大，难分优劣。

图9 各算法对图像chest＿xray去噪处理结果

各算法对含不同强度噪声的图像boat 进行去噪的结果如图10 所示。文献［9］、［13-14］中方法的去噪效果较差，而文献［4］中和本文方法的去噪效果较好，显著优于文献［9］、［13-14］中的方法，其中本文方法稍微优于文献［4］。

图10 各算法对图像boat去噪处理结果

各算法对含不同强度噪声的乳腺图像mammogram去噪的PSNR 和EPI 值如图11 所示。在PSNR上，文献［9］、［13-14］中的方法较为接近，其值较低，而本文方法与文献［4］中的方法也较为接近，但是明显优于文献［9］、［13-14］中的方法，本文方法的PSNR值稍微高于文献［4］的方法。在EPI 上，文献［9］和［14］中的方法的值较低，而文献［13］中的方法的值处于中等水平，文献［4］中和本文方法的值较高，与其他算法拉开较大的差距。

图11 各算法对图像mammogram去噪处理结果

除了在单张图像进行实验，本文还在源自文献［18］的整体数据集Set12 上，再次验证各方法的去噪性能。将各算法应用于Set12 中的所有图像，将其结果PSNR和EPI 对图像数量取平均值，如图12 所示。从PSNR曲线来看，除了文献［4］中和本文方法，其他方法的去噪性能并不高；但从EPI 曲线看，文献［13］中的EPI曲线相对较高，表明其对边缘和纹理结构保持和恢复得较好。相对地，文献［4］中和本文方法的PSNR和EPI曲线均处于最高位置，两者的差别微小，细心观察可以看出，本文方法还是稍微优于文献［4］。

图12 各算法在数据集Set12上的平均PSNR和EPI

以上分别根据视觉感知和客观数据对本文方法进行了比较验证，结果显示，本文方法的去噪性能优于多数的现有方法，作为图像去噪领域中具有里程碑意义的文献［4］中的方法，虽然本文方法没有明显优于文献［4］，但是基本上与其持平，对于部分图像或部分噪声强度，本文方法稍微优于文献［4］。

3.3 计算效率

选择数据集Set12 中图像用不同算法的测试计算效率，各算法对图像数量的平均计算时间如表1 所示。噪声强度的增大，往往会增加算法处理的复杂度，所以对高强度噪声的处理耗时一般会略高于低强度噪声。文献［14］中的耗时最高，难以满足图像处理对实时性的要求。文献［4］和［13］中的计算速度处于中等水平。文献［9］中和本文算法的计算速度最快，在噪声强度较高时，本文方法稍微快于文献［9］中的方法。因此，本文方法具有媲美于文献［4］中的良好的去噪性能，且具有实时的计算效率。

表1 各算法在数据集Set12 上的平均计算时间 s

4 结 语

本文提出的边缘增强的双密度双树复小波阈值滤波器、提高高斯噪声的去除效果，通过Matlab 2013b软件编程实验及与相关图像文献比较运算验证，结果表明：①相对于现有的方法，本文方法的去噪图像更清晰，图像的边缘细节恢复得更好；②本文方法去噪得出的PSNR和EPI值比现有的方法更高，显示更好的图像去噪和边缘恢复性能；③本文方法具有实时的计算效率，适用于实时的图像计算处理。课题组计划将本文方法作进一步改进，应用于混合噪声的去除以及含噪图像的增强，以提高实际应用的图像质量和效果。