运用数学实验提升数学学科核心素养的案例研究

王锦熙

摘 要：本文利用具体的教学案例说明运用数学实验落实学生的数学学科核心素养——数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数据分析.

关键词：数学实验;数学抽象;逻辑推理;数学建模;数据分析

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）06-0057-03

2017年颁布的《普通高中数学课程标准》（2020年修订）提出在高中阶段，要在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数据分析、数学运算这六方面培养学生的数学学科核心素养.如何在高中数学课堂教学过程中帮助学生提升这些方面的学科核心素养，是广大高中数学教师一直面临的问题，也是一直在积极思索、期待解决的问题.教师引领学生有效开展数学实验，通过学生动手实验操作、利用信息技术开展数学实验，可以提升高中数学课堂的教学效果，提升学生的数学核心素养.

1 运用数学实验提升数学抽象能力学生刚步入高中，就要进入函数部分的学习，而对于函数概念和函数性质的理解，许多学生都会遇到不同程度的困难.这其实就是学生的数学抽象能力还需要提升.数学抽象能力的提升没有一步到位的方法，我们可以利用数学实验帮助学生提高数学抽象思维的能力，促进学生对于函数概念和函数性质的理解和掌握.

比如，在《函数的单调性》这节课中，其中一道典型例题是：证明函数y=x+1x在（1，+SymboleB@上是增函数.教师在按照定义法证明了该函数的单调性之后，可以借助数学软件GeoGebra在课堂上画出y=x+1x的函数图象，让学生清晰、直观地看出函数y=x+1x在（-SymboleB@，-1）、（1，+SymboleB@）上是增函數，在（-1，0）、（0，1）上是减函数.

学生在学习双曲线的时候会感觉到抽象，学习过程中有些吃力.教师可以借助动手操作的数学实验，让学生经历动手画出双曲线，加深对双曲线概念的理解.可以这样设计该数学实验的具体操作步骤：

准备好细绳、铁环、笔、白纸，同桌的两位同学相互配合.

（1）准备一长一短两根细绳，将两绳其中一端打结;并将两根细绳均穿入铁环;

（2）在纸上取两定点F1、F2，并将两绳的另一端点分别固定在这两点;

（3）把笔尖放在铁环处，拉紧细绳，缓缓移动笔尖，随着两绳拉开或闭拢画出一条轨迹;

（4）交换两绳端点的位置，依照上述步骤画出另一条轨迹.

学生在移动笔尖，亲自动手画出双曲线的过程中体会双曲线的定义.教师还可以指导学生移动F1、F2的位置，动手实验画出相应的轨迹，体会定义中0<2a<|F1F2|这个条件的限制.

2 运用数学实验提升逻辑推理的能力

通过高中数学的学习，可以提升学生的逻辑推理能力，掌握逻辑推理的形式和方法，可以有逻辑有条理地分析问题、解决问题.在教学中，可以通过具体的数学实验，由特殊到一般，让学生思考、总结出一般化的逻辑规律.

在研究函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，从函数图象的角度出发，讨论参数变化时对函图象的影响，探究图象变换的实质和内在规律.这里以探究参数ω（ω>0）对y=sin（ωx）的图象的影响为例进行说明.

（1）当ω=2时，探究y=sinx图象和y=sin2x图象间的关系.

问题1：从整体上看，y=sinx与y=sin2x图象有什么区别和联系？

问题2：从特殊点分析（如x=π2，π，3π2，2π），y=sinx与y=sin2x图象有什么区别和联系？

问题3：点P（x0 ，y0）在函数y=sinx图象上，则P1（12x0，y0）在函数y=sin2x图象上吗？

（2）当ω=12 时探索y=sinx图象和y=sin12x图象间的关系.

问题1：从整体上看，y=sinx与y=sin12 x图象有什么区别和联系？

问题2：从特殊点分析（如x=π2，π，3π2，2π），y=sinx与y=sin12 x图象有什么区别和联系？

问题3：点P（x0 ，y0）在函数y=sinx图象上，则P1（2x0，y0）在函数y=sin12 x图象上吗？

根据函数图象，充分考虑问题的难易梯度，逐步引领学生进行探究和思考，通过预设的问题激发学生积极思考，提升学生的逻辑思维能力.利用数学软件GeoGebra可以动态分析任意点的变化规律，进而对所有点进行分析，提升学生对三角函数伸缩变换的理解.通过数学实验进行具体点的分析后，再进行严格的逻辑证明，从特殊到一般，提升学生的逻辑推理能力.

3 运用数学实验提升直观想象能力

直观想象能力是学习数学过程中一直在慢慢培养的能力.高中学生需要掌握利用几何图形刻画问题，利用几何图形来帮助解决问题.学生利用数形结合的数学思想来分析、解决问题，这时候就需要教师和学生进行数学实验，画出几何图形，将抽象问题直观化.

比如，已知曲线y=4-x2与直线y=x+a有公共点，求实数a的取值范围.解决本题，我们需要利用数形结合的思想，画出圆心在原点、半径为2的上半圆和斜率为1的直线的图象，通过平移直线y=x+a 的位置，分析出当直线过点（2，0）时，a取得最小值-2;而当直线y=x+a与圆心在原点、半径为2的上半圆相切时，a取到最大值，再利用圆心到直线得距离就等于半径，计算出a的最大值为22.

4 运用数学实验提升数学建模能力

数学建模是指学生在学习和生活中能够发现和提出问题，用数学角度去思考和分析问题，并把现实问题表达为数学问题，建立数学模型，用数学的方法去解决问题.在高中数学教学中，如何来培养学生的数学建模能力？教师带领学生经历完整的数学建模过程，通过完整的数学实验过程，让学生感知发现和提出问题、建立和求解模型、检验和改进模型，分析和解决问题.

这里以生活中的非常常见的实例来展开数学建模的教学.例如，某位教师通过在网络购物平台进行手机品牌和性能的对比之后，计划购买某品牌价格为2980元的一款手机.如果选择某银行信用卡分期付款，等额本息还款方式，按照12期分期还款，每期月利率为0.6%，也可以选择一次性付款和利用信用卡分期付款，请帮忙给该教师合理的建议.

要解决上述问题，首先教师需要引导学生提前了解何为等額本息还款.第二步，2980元按照12期分期还款，每期月利率为0.6%，那么每月利息为2980×0.6%=17.88元，每月需还本金2980/12=248.33元，每月需还款金额为17.88+248.33=266.21元.12期总共还款金额为266.21×12=3194.52元.第三步，结合计算结果，如果近期经济状况比较宽裕，推荐一次性付款方式，不需要额外支出利息214.52元.如果近期经济状况紧张，推荐信用卡分期付款方式，可以减轻短期的资金压力.

5 运用数学实验提升数据分析能力

数据分析的能力就是要能够在现实的生产和生活中收集和整理数据，并加以理解，利用数学方法分析处理数据，得到相关结论，最终运用到生产和生活中去.数据分析能力是现在大数据时代的重要能力，也是科学研究、科学技术、工程建设新等生产和生活各个方面都可能需要的能力.2017年颁布的《普通高中数学课程标准》把数据分析作为高中数学六大学科核心素养之一，也充分说明了数据分析能力培养的重要性.如何在教学过程中培养学生的数据分析能力？这里介绍一个利用数学实验提升数据分析能力的案例来进行说明.

在学习《回归分析的基本思想及其初步应用》这部分知识时，教师可以好好利用这个模块来培养学生的数据分析能力，特别是带领学生利用身边的学习和生活中的实例进行数据分析处理.例如，在大多数人的观念中，都有一个看法就是一般数学成绩好的学生，物理也不错.那么事实上，这个看法对不对呢？一个高中学生的物理成绩多大程度上可以由数学成绩解释呢？第一步，教师可以带领学生收集和整理某次考试20名学生的数学成绩和物理成绩.得到如下表的数据.

第二步，利用Microsoft Office 的Excel表格画出散点图，见左下图.从图中可以看出学生的物理成绩与数学成绩近似线性相关.

第三步，添加趋势线，选择线性趋势线，并勾选显示公式和显示R平方值，得到右上图.从图中可以看出，并求得物理成绩与数学成绩的线性回归方程为y=0.8822x-29.181，物理成绩与数学成绩正相关，数学成绩提高一分，物理成绩可能提高0.8822分.物理成绩大约70.56%可以由数学成绩解释.散点图中有一个点（109，45）离得较远，通过查验，数据并没有错误.出现这种情况的原因可能是该次考试的偶然情况，也可能是该学生虽然数学掌握较好，但在物理学习上有待提高.

在实际教学的过程中，数学教师需要充分挖掘教材，有效利用学生学习和生活中的实例，有效开展数学实验教学.通过数学实验教学，改进课堂教学效果，提升学生的数学能力学科核心素养.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 孙若涵.基于数学核心素养的高中数学教学设计的实践探索[D].聊城：聊城大学，2019.

[3] 任志鸿.高中优秀教案数学必修4新课标人教A版[M].海口：南方出版社，2007.

[责任编辑：李 璟]