转换主元的思想在函数与导数问题中的应用

李树森

(南昌县莲塘第一中学)

在函数与导数的综合问题中,常常涉及多个变量(如x,a等),解题的常规思路是将函数看成关于x的函数,其他变量视为参数,这样常常可以通过分类讨论或分离参数使问题获解,但是面对一些导数试题这样操作可能会导致问题复杂化.如果处理问题时能善于分析题目的结构特征,转换视角,尝试将另外一个变量视为主元,通过研究函数的性质,求函数最值,这样另辟蹊径,往往能使问题得到简化.本文先对一道简单、常见的问题进行分析,谈变换主元处理与不等式有关的导数压轴题,供读者参考.

1 引出问题

例1 设不等式mx2－2x－m＋1＜0 对满足|m|≤2的一切m都成立,求x的取值范围.

解法1 可以将原不等式化为

解法2 将不等式化为(x2－1)m＋1－2x＜0,设f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,当|m|≤2 时,有f(m)＜0,由

解法1视x为自变量,m为参变量,先分离参变量m,再利用分类讨论处理问题.解法2视mx2－2x－m＋1＜0为关于m的不等式,通过构造以m为变量的函数f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,再求解问题.上述两种解法都运用了“主元思想”.所谓主元思想是指在含有两个或两个以上的未知量问题的解决过程中,选择一个未知量作为主要研究对象,而其他未知量视作为参数或常量.从解题过程来看,例1视m为主元比视x为主元要简便得多.事实告诉我们,若能稍微改变一下思维习惯,在含有多个变量的问题中,合理运用“主元思想”,优先考虑如何选择主元是十分必要的.

用“主元思想”解决函数与导数的压轴题会有意想不到的效果,接下来我们运用此思想继续探究一道高考真题.

2 真题再现

例2 (2021年天津卷20,节选)已知a＞0,函数f(x)＝ax－xex.若存在a,使得f(x)≤a＋b对任意x∈R成立,求实数b的取值范围.

解法1 将不等式f(x)≤a＋b化为ax－xexa－b≤0.设φ(x)＝ax－xex－a－b,则问题可转化为φmax(x)≤0,易知存在唯一实数m,使得φmax(x)＝φ(m)≤0,则必有φ′(m)＝0,即a＝(1＋m)em,又a＞0,m＞－1,所以

令h(x)＝(x2－x－1)ex(x＞－1),若存在a,使得f(x)≤a＋b对任意x∈R 成立,等价于存在x∈(－1,＋∞),使得h(x)≤b,即b≥hmin(x).h′(x)＝(x－1)(x＋2)ex(x＞－1),当x∈(－1,1)时,h′(x)＜0,h(x)单调递减;当x∈(1,＋∞)时,h′(x)＞0,h(x)单调递增,所以hmin(x)＝h(1)＝－e,故b≥－e.

综上,实数b的取值范围为[－e,＋∞).

解法2 将不等式f(x)≤a＋b化为a(x－1)－xex－b≤0,可研究关于a的函数g(a)＝(x－1)axex－b.由题意知存在a＞0,使得不等式(x－1)axex－b≤0,可将问题转化为gmin(a)≤0,下面我们研究关于a的函数g(a)＝(x－1)a－xex－b.

当x≥1时,gmin(a)＝g(0)＝－xex－b≤0,依题意,只需要对于任意x≥1,不等式－xex－b≤0恒成立,即任意x≥1,b≥－xex恒成立,只需要b≥－e.

综上,实数b的取值范围为[－e,＋∞).

3 解后反思

例2有三个未知元a,b,x,处理问题需要抓住“存在”“任意”“恒成立”等字眼将问题逐步转化,解法1是常规的处理方法,将变量x视为函数的自变量也就是主元.在解决问题的过程中,将不等式恒成立转化为函数的最值,充分利用好最值与极值的关系找到了参数a与极值点m之间的关系a＝(1＋m)em(m＞－1),将存在a转化为存在m,利用了隐零点代换的思想处理,这样可以将三元转化为二元,得到不等式(m2－m－1)em－b≤0,此问题转化为学生易于操作的问题.在处理过程中突显减元思想,这也是处理多元函数问题常规的方法.解法2并没有将其看成关于x的函数,而是打破了常规视角,注意到未知元a,b之间的无依赖关系,转换视角视未知元a为主元,将其转化为关于a的函数,构造函数g(a)＝(x－1)axex－b,此时未知元b,x在此构造的函数中充当了参数.将原问题转化为存在a＞0,使得不等式(x－1)a－xex－b≤0有解,即转化为函数φmin(a)≤0,这样就可以将三个未知元减少为二个未知元,进一步将问题转化为关于x的函数,根据x的任意性,问题又转化为恒成立问题.在高考的压轴题中经常会遇到含参数的函数问题,有时求导很复杂、分离参数难以奏效,如果采用转换主元的思想来处理问题,会大大简化运算过程.

4 “主元思想”的典型应用

4.1 主元转换、换元辅助

4.2 变量独立、主元切换

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.”从不同的角度看问题,结果也会不一样.处理导数与不等式有关综合问题的习惯性思维是以x为主元,当解答比较困难时,我们可以尝试改变分析问题的角度,关注变量的构成,改变主元,逐步减元,排除参数的干扰,最终达到简化问题的目的.

函数思想贯穿于整个高中数学学习之中,本文通过运用函数知识、函数思想、函数方法解决函数综合题,突出对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养的考查.