鲁棒优化解决不确定性问题

张一铎

第一章 不确定性问题的优化

1.1 不确定问题优化方法

实际生活中很多问题都具有不确定性（Uncertainty），随着最优化理论的不断发展和计算机能力的提高，不确定性优化受到了学界前所未有的重视。早在20世纪50年代，Bellman、Zadeh和Charnes等人便已开始对不确定性优化进行子研究。随着社会的不断发展，我们所接触到的问题的复杂度不断提高，模型的不确定性也在不断扩大[1]。比如：飞机航班的线路规划、电网的最优调度、物流路径的最优规划等等。在实际生活中，模型参数的不确定性主要来自以下几个方面：数据在统计和采集过程丢失而导致数据偏差过大;天气等不可抗力因素的干扰;

认知不全导致现有模型与实际生活中存在偏差;对于一些难以求解的非凸非线性模型，进行简化描述。为了不确定性问题进行求解型，相关学者提出了一系列的优化求解方法：随机规划、鲁棒优化、灵敏度分析、模糊规划等等。不确定性优化的理论和方法不断地被开发出来。据分析阶段的不同，不确定优化的理论分为事前分析、和事后分析兩大类方法。我们接下来主要对这两大类的不确定理论展开叙述。

1.2事前分析方法

随机规划根据不同的决策规则，可以分为三类：

1） 期望模型。首先确定不确定参数的分布模型，然后通过选取离散或连续的概率分布函数对不确定参数进行描述，最终通过求取函数的期望将不确定问题转化为确定性问题并求解。如果目标函数和约束中存在随机参数，只需求取相应函数的期望值，将模型转化为确定性模型进而求解。

2） 机会约束规划模型。通俗来讲，机会约束规划是指允许决策不满足约束条件，但是决策满足约束条件的概率不低于事先设定的置信水平的规划求解模型时，目标达到最优的理论。

3） 相关机会约束规划模型。相关机会约束规划是当决策者面临多个事件时，希望最大化满足这些事件的概率而产生的一种规划方法。无论是期望模型还是机会约束规划模型，最终都是确定性优化求解并得出准确值。相关机会规划虽然求解结果是确定的，但并不代表一定实现，规划的目的是极大化该事件的实现概率。

1.3事后分析方法

鲁棒优化棒优化是研究不确定优化问题的一种新建模方法，它源自鲁棒控制理论，是随机优化和灵敏度分析的补充替换，其目的是寻求一个对于不确定输入的所有实现都能有良好性能的解。该方法与随机优化的不同之处在于，它没有假设不确定参数的分布，也即是每个可能值都同等重要，当它面向最坏情况时，代表一个最保守的结果。在过去几十年中，鲁棒优化方法在自然科学、工程技术、经济管理等各个领域得到了广泛的应用和发展，深受国内外学者的关注。

第二章 鲁棒优化

2.1鲁棒优化理论的特点

鲁棒优化与其它不确定优化方法的最大区别在于：

1）鲁棒优化强调的是所谓的硬约束，寻求一个对于不确定输入的所有实现都能有良好性能的解，即不确定优化问题的解对于任何一个可能参数的实现都必须是可行的，而其它不确定优化问题并没有这个要求。

2）鲁棒优化的建模思想与其它优化方法不同，它是以最坏情况下的优化为基础，这代表了一个保守的观点。得到的优化方案并不是最优的，但是，当参数在给定的集合内发生变化时，仍能确保优化方案是可行的，使模型具有一定的鲁棒性，即优化方案对参数扰动不敏感。

3）鲁棒优化对于不确定参数没有分布假定，只是给出不确定参数集，不确定参数集合内的所有值都同等重要。

4）鲁棒优化的目的是求得这样一个解，对于可能出现的所有情况，约束条件均满足，并且使得最坏情况下的目标函数的函数值最优。 其核心思想是将原始问题以一定的近似程度转化为一个具有多项式计算复杂度的凸优化问题。鲁棒优化的关键是建立相应的鲁棒对等模型。然后利用相关的优化理论将其转化为可求解的“近似”鲁棒对等问题，并给出鲁棒最优解。

2.2鲁棒优化理论的应用领域

鲁棒优化是解决内部结构和外部环境不确定环境下的一种新的优化方法。鲁棒优化是研究不确定优化问题的一种新建模方法，它源自鲁棒控制理论，是随机优化和灵敏度分析的补充替换，其目的是寻求一个对于不确定输入的所有实现都能有良好性能的解。该方法与随机优化的不同之处在于，它没有假设不确定参数的分布，也即是每个可能值都同等重要，当它面向最坏情况时，代表一个最保守的结果。在过去几十年中，鲁棒优化方法在自然科学、工程技术、经济管理等各个领域得到了广泛的应用和发展，深受国内外学者的关注。鲁棒优化解决内部结构变动问题时，主要是约束条件参数的不确定性或目标函数参数的不确定性解决外部环境变化时，主要是外界不确定性扰动。鲁棒优化己经从最初的线性优化鲁棒方法，发展到鲁棒优化理论的经典体系[2]。与其它不确定优化问题的处理方法不同的是，鲁棒优化更加适用于如下情况：

①不确定优化问题的参数需要估计，但是有估计风险;

②优化模型中不确定参数的任何实现都要满足约束函数;

③目标函数或者优化解对于优化模型的参数扰动非常敏感;

④决策者不能承担小概率事件发生后所带来的巨大风险。

2.2应用鲁棒优化理论目前的瓶颈

专家学者结合各行业存在的实际问题，利用鲁棒优化进行不确定模型研究时会采用不同的解决方式，然而研究流程大致相同。

鲁棒优化作为研究不确定优化问题的新方法受到了越来越多学者的关注，采用事先分析的策略，在优化模型建立的过程中就考虑了参数的不确定性，其优化解的鲁棒性突破了过去优化模型不确定参数过多依赖先验知识以及服从概率分布的假定[3]。尽管鲁棒优化还未形成统一的理论体系，但正是这种百花齐放的研究思路给该领域的研究注入了活力，同时也表明该领域的研究还有许多函待解决的问题：

①在不确定集的确定上，如何与参数不确定性产生的来源和敏感级别结合起来，选择集合的形状和大小;

②完善并丰富初始不确定优化问题转化为鲁棒对等式的理论体系，使鲁棒对等式为计算可处理的;

③对优化模型参数在其不确定集以外取值的情况加以分析，找到控制优化性能恶化的途径和方法;

④推广鲁棒优化的应用范围，使该理论不仅可以在经济管理问题中得以应用，而且还可以拓展到实际的优化调度问题中。

参考文献

[1]覃岭. 基于鲁棒优化理论的电力系统机组组合研究[D].天津大学，2017.

[2]宗群，王维佳，何彦昭.基于鲁棒优化理论的电梯群控调度策略[J].控制理论与应用，2008（04）：743-748.

[3]邱志平，陈吉云，王晓军.结构鲁棒优化的非概率集合理论凸方法[J].力学学报，2005（03）：295-300.