在跨学科融合中提升数学建模核心素养*
——基于量纲分析的数学建模教学微设计

余晓娴

(福建省厦门市海沧中学,361000)

本文尝试引入物理领域中建立模型常见的量纲分析法,探索开展高中生数学建模教学活动易于实施的的新方法，利用跨学科融合,提升学生数学建模核心素养.

一、问题提出背景

1.课标明确对数学建模的要求

在《普通高中数学课程标准》(2017年版，2020年修订)(以下简称《课标(2020)》)中,数学建模是六大数学学科核心素养之一.其中明确指出数学建模在当前普通高中数学学科课程标准建设中的重要地位，将“数学建模活动”与“数学探究活动”分别作为必修课程与选择性必修课程的主题之一,并分别安排了具体课时.强调在高中阶段必须开展一系列的数学建模活动,以此提高学生的应用能力与探索创新精神等[1].依据《课标(2020)》的要求,新教材中增加数学建模的比重.

2.数学建模教学过程中的困难

数学建模活动不同于以往常见的应用题.应用题的出题者已经将实际背景简化、数据提前进行加工,应试者只需要根据题意将几个变量间关系合理表达即可完成解答.但数学建模活动之难始于真实的问题情境.现实情境影响因素众多,如何合理地简化问题，找到有效的变量并且构建变量间关系，建立科学的模型，是目前学生面临的最大困难.另外,数学建模常用的方法与经典模型的建立需要用到高等数学的相关知识,这对高中生而言是较为困难的.高中课程中学生学习了线性规划、回归分析等,可以用于解决部分问题,但是对于情况较为复杂、影响因素较多的问题,便捷有效的处理方法学生仍较为欠缺.这使得学生在模型的建立上往往需要花费大量的时间和精力,甚至无法建立合理的模型.

3.量纲分析的作用与特点

量纲分析法也称为因次分析法,它的本质是一种很有价值的数学分析理论方法.20世纪初,量纲分析最早在物理中被提出,后来逐步发展为通过专门研究物理量的量纲关系，进而揭示数量关系的半定量方法[2].通过量纲分析,可以正确地分析各变量之间的关系,尤其对于多变量问题的复杂模型可以大大简化,可以用于检查一些数理公式是否正确,是自然科学中一种重要的研究方法.作为一种科学的研究方法,量纲分析法不依赖繁冗的物理规律,而是以物理量的基本属性量纲作为思考问题的切入点，以量纲齐次法则作为分析与判断的基本依据.面对各种复杂情况,以不变的量纲应对万变的量,往往能起到意想不到的效果.

二、量纲分析法的相关理论知识

1.量纲与量纲式

量纲不是量,不是单位,也不是数.数学模型中的各种变量通常具有其物理意义.有一些被称为基本量,如长度L、时间T、质量M等.其他量可以由基本量导出,被称作导出量.一个物理量Q一般可以表示为基本量乘幂之积dimQ=LαMβTγIδΘεNξJη.在国际单位制中共有7个基本物理量,对应有7个独立的基本量纲(L,M,T,I,Θ,N,J).其中α,β,γ…被称为量纲指数,量纲式表示为dimQ=LαMβTγIδΘεNξJη[3].若对于某个物理量Q，有α=β=γ=δ=ε=ζ=η=0,则物理量称为无量纲量.

2.量纲齐次法则

量纲的运算法则为:两个物理量相乘(或相除)时,它们对应的量纲指数相加(或相减).只有量纲相同的物理量才能比较大小和进行加减运算.一个正确的数理方程,等号两端必须满足量纲一致,即每一项的量纲必须完全相同.这种要求称作“量纲齐次法则”,是量纲分析法中最重要、最常用的一个部分.

3.白金汉π定理

三、应用举例

案例1用量纲分析法证明勾股定理

设直角三角形斜边长为c,其中一个锐角为θ,其面积为S.易知三角形斜边c与面积S的量纲为dimc=L,dimS=L2.由白金汉π定理知,可定义两个无量纲量,π1=S·c-2,π2=θ.再由π1=φ(π2)可得S=c2·φ(θ).如图1所示,作直角三角形斜边上的垂线,这样将该直角三角形分成左右两个子母相似的直角三角形,同理可得这两个小直角三角形的面积为S1=a2·φ(θ),S2=b2·φ(θ).

由于S=S1+S2,得到c2·φ(θ)=a2·φ(θ)+b2·φ(θ),两边同时约去φ(θ),即有c2=a2+b2成立.证毕.

设置意图本案例主要体现白金汉π定理的运用.对学生早已熟悉的勾股定理,运用量纲分析的方法给出证明,简洁明了、又易于理解.整个证明分析过程最核心和精彩的部分,是三角形面积的表示,这不同于以往的底乘以高,而是根据量纲齐次法则,由三角形的面积和角度这两个量的量纲得出的.向学生揭示了量纲分析法解决问题的一般思路,作为示范和启发作用的例题很有意义.

案例2求单摆的运动周期T

设计意图本案例运用量纲齐次法则对等式进行检验,十分快速有效,这个方法可启发学生将量纲分析法用于数学建模的检验中.对于学生在物理中已经学过的单摆周期公式,用量纲分析的角度重新推导,目的是让学生经历量纲分析解决问题的过程,体会其分析问题的特点.

案例3人的体重W与身高L的关系(教材中回归分析例题的解法优化)

为了解人的平均身高和体重的生长变化规律,先观察8名不同年龄段的男性和女性的情况,其身高和体重的数据如表1所示.请求出人的身高与其体重的回归方程.

表1

选取身高为自变量L,体重为因变量W,可以作如下图2散点图:

现在换个角度来分析问题.由于人和人的相似性,可以近似地看成人的体重与体积之间的关系大概是成正比的,那么研究人的体重W与身高L的关系就转化为研究人的体积V与身高L之间的关系.根据量纲分析可知:dimV=(dimL)3,那么V=k·L3,说明体积V与身高L的三次方成正比.因此增加一行计算身高L的三次方,记t=L3,数据如表2所示.

表2

此时选取身高的三次方L3为自变量t,体重为因变量W,可以作散点图如图3:

设计意图 本案例根据教材中回归分析一节的例题改编,对比教材中直接作线性拟合,增加基于量纲考虑的模型优化,轻巧灵活,易于理解,达到改进和优化的目的.其目的不是为了推翻教材中的方法,而是把量纲分析的基本思想作为数学建模中的工具.利用量纲分析,不仅可以检查数理公式是否正确,甚至可以通过分析进一步得到变量较为明确的关系(具体到乘幂的次数),这可以大大提高拟合函数的精度和可信度,对优化模型起到重要作用.