幂函数的图像和性质教学实践及反思

王广志

摘要：幂函数是高一第一学期学习了函数性质以后，最先学习的内容，先于指数函数、对数函数的学习。随着幂指数值的不同，其定义域、单调性、奇偶性变化较多，多数学生难以快速、准确地掌握。本文是对一节幂函数图像与性质教学设计的改进稿。主要借助GGB软件和现代信息技术的运用，对课本例题进一步挖掘，探索幂函数的图像特征、理解其性质和类型，通过小组协作、自主探究等形式，以期对幂函数有一个明确的认识，也为指数函数、对数函数的后续学习提供探究的思路和方法。

关键词：数形结合;GGB应用;小组探究;教学改进

本学期笔者参加了一节区级公开课的观摩课听评课，整节课对幂函数性质做了介绍，主要是通过观察图像，对幂函数性质做了分类，然后以此为依据，学生通过强化记忆这些既成的结论，对给定的幂函数进行分析、辨别和判断，对幂函数有了初步了解，但是不够熟练和深入，总觉得缺少探究的味道，在学习思路和探究方法和师生交流等方面，还有可以改进的地方。本设计对原教学过程进行归纳，分为以下几个阶段，开展小组协作探究，设计改进如下。

教学目标

理解幂函数的概念，能画出具体幂函数的图像;在理解幂函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题;

在教学过程中通过类比，回顾归纳从图像和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对幂函数的认识，在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;

通过本节课的学习，获得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流的意识。通过Geogebra软件和计算器的使用，提升现代信息技术应用意识。

教学重点

幂函数的概念、图像和性质。

教学难点

对指数的分类，如何由图像、解析式归纳幂函数的性质。

教学方法

小组合作学习法  讲练结合法。

教学资源

视频、智慧课堂、GeoGebra软件、平板电脑、计算器等。

教学对象 中高贯通班学前专业学生。

教学活动流程

一、课前准备

（一）实例

问题1：某人购买了每千克1元的水蔬菜x千克，那么他需要付的钱数y（元）和购买的水果量x（千克）之间的关系可表示为__________;

问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=______;

问题3：如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y=__;

问题4：如果正方形场地面积为x，那么正方形的边y=________;

问题5：如果某人x s内骑车行进了1 m，那么他骑车的速度y=_______m/s.

流程安排 1.智慧课堂平台发布小组任务：求出上述问题中的函数关系：2.每个小组运

用GeoGebra软件绘制以上函数图像。3.每个小组自己选择分组安排的两个函数图像，观察其函数性质。

学生活动 完成问题中函数关系的求解。完成GeoGebra软件画出其函数图像。

（二）设计意图

通过课前资料的预习，使学生了解幂函数在生活中应用的广泛性，引发学生的思考，为本节课的学习做准备。

（三）与原设计的区别

原设计是将问题（1）至（4）依次解决，占用课堂时间较多，挤压了其他教学活动的时间;现改为分组同时进行，展示结果，可以提高课堂利用效率。

（四）特色

突出了组内研讨、主动探究和数学建模方法。

二、新课讲授

（一）新课导入

2.1.1实例 思考问题1-5。

【提问】在以上5个问题中，用表示，与之间的关系分别是什么？

流程安排：

1.觀察这些函数解析式，它们有什么共同的结构特征吗？   .

总结：幂函数的概念一般地，我们把形如的函数叫作幂函数.其中是自变量，幂指数是常数，幂函数的定义域是使得有意义的实数的取值范围.

2.观察幂函数要满足的三个特征是什么？

结论：（1）的幂前系数为1

（2）底数只能是自变量，指数为常数③项数只有一项

3.幂函数与指数函数的区别是什么？

结论： 自变量在底数位置，指数为常数。自变量在指数位置，底数为常数

4.测试题1：判断下列函数，哪几个是幂函数？

学生活动：思考、解答、组内交流、小组抢答

2.1.2设计意图

学生观察五个函数解析式，归纳出他们的共同特征，培养学生的观察、归纳和语言表达能力，同时引入本课新学知识。深入理解幂函数概念的内涵与外延，通过测试检测效果。

2.1.3与原设计的区别

原设计是将问题（1）至（4）依次解决，占用课堂时间较多，挤压了其他教学活动的时间;现改为分组同时进行，依次展示结果，可以提高课堂利用效率。

2.1.4特色

突出了组内研讨、主动总结代数特征方法。

（二）幂函数性质分组探究

2.2.1实例

用GGB画出下列函数图像，观察图像，总结其在时函数单调性和奇偶性是怎样的？

流程安排 1.第一小组作品演示分享

（1）Geogebra软件演示问题（1）函数图像：

性质：观察幂函数图像，可得：

（2）其他三组学生借助GGB作图并将本组结果上传至平台，1号作品组学生巡视指导，教师点评。

（3）测试题2 请填写下列表格：

2.第二小组作品演示分享

（1）Geogebra软件演示问题（2）函数图像：

性质：观察幂函数图像，可得：

（2）其他三组学生借助GGB作图并将本组结果上传至平台，2号作品组学生巡视指导，教师点评。

（3）测试题3 请填写下列表格：

3.第三小组作品演示分享

（1）Geogebra软件演示问题（3）组函数图像：

性质：观察幂函数图像，可得：

（2）其他三组学生借助GGB作图并将本组结果上传至平台，3号作品组学生巡视指导，教师点评。

（3）测试题4 请填写下列表格：

学生活动 小组代表针对本组制作的作品（GGB制作幂函数图像），观察图像，总结其函数性质。指导其他组同学完成该组图像，总结性质。其他组学生聆听小组代表的成果分享，深化认识幂函数的性质。全班同学共同完成该问题类型的测试题，检测效果。

2.2.2设计意图

抛出问题组，引导学生思考，分组完成问题解决过程，相互协作。经历成果的分享，培养和发展GGB作图能力、运用图形语言进行函数性质分析的能力。通过测试题检测学生模型辨识能力，体会现代信息技术在数形结合中的重要作用。

2.2.3与原设计的区别

学生自己用软件帮助探究幂函数图像;分组同时进行，这是原设计没有的。

2.2.4特色

用GGB软件帮助探究幂函数图像性质，依数得形，由形入数，根据观察到的定义域去判断、再根据函数的解析式求出其定义域，数形结合。

（三）组合提升

2.3.1实例

观察并总结以上三组函数图像，在第一象限内，有何特征？

流程安排 1.思考 观察以上三组函数图像，在第一象限内，有何特征？

用GGB做出三组图像，总结其性质。由第四小组完成：

（1）Geogebra软件演示以上9个函数图像：

性质：观察幂函数图像，可得：

（2）其他三组学生借助GGB作图并将本组结果上传至平台，4号作品组学生巡视指导，教师点评。

2.应用

学生活动 小组代表针对本组制作的作品（GGB制作幂函数图像），观察图像，总结其函数性质。指导其他组同学完成该组图像，总结性质。其他组学生聆听小组代表的成果分享，深化认识幂函数的性质。全班同学共同完成该问题类型的测试题，检测效果。

2.3.2 设计意图

通过Geogebra软件演示9种类型幂函数的图像，观察、体会其总体特征，熟悉在、两种情况下的函数值的变化规律。通过组内交流、组间比较来强化对不同幂函数在同一处对应函数值的不同的认识。通过组内交流、组间评比来强化对幂函数概念理解、性质应用熟练度、准确度。增强幂函数应用意识。

2.3.3 与原设计的区别

原设计没有对幂函数奇偶性进行分组探究，这是新增的部分。

2.3.4 特色

用GGB软件帮助探究幂函数图像，根据观察到的图像特征探究代数应用方法，数形结合。

（四）检测评价

2.4.1 实例

测试题7  已知幂函数

测试题8  已知幂函数的图像过点，则它的单调增区间是（ D  ）

流程安排 平台发布检测题，学生完成，系统统计完成情况，教师选择典型问题进行讲评。

学生活动 全班同学独立完成平台上的检测题，检测效果。

2.4.2 设计意图

通过检测题的在线测评，检测学生本堂课的学习目标的达成度。

2.4.3 与原设计的区别

通过平台实现检测题的在线测评，检测学生本堂课的学习目标的达成度。这是新增的部分。

2.4.4 特色

借助信息技术师生互动平台，实现对幂函数特征的理解应用效果检测，高效、透明，针对性强。

（五）课堂小结

2.1.1 实例 本节课学习了

（1）幂函数的定义______________________________;

（2）九类幂函数图像性质________________________;

（3）幂函数图像在第一象限特征__________________。

流程安排 教师提问，通过本节课的学习，你有哪些收获？学生回答，教师点评总结。

学生活动 学生积极踊跃表达自己学习完本节课的所思所想。

2.1.2 設计意图 通过让学生谈对本节课的收获，内化学生的知识结构，同时培养学生的概括能力与表达能力。

2.1.3 与原设计的区别 全体同学对幂函数奇偶性进行分类归纳，同步强化记忆，并巩固之，通过平台来实现这个过程。这是原设计没有的。

2.1.4 特色 借助智慧平台，实现师生互动，使得数学思维的传导更加快捷、便利、迅速，提高了课堂效率。

三、课后延伸

（一）思想方法反思：本课探究幂函数性质用了哪几种方法，蕴含着那些思想？

（二）自己还有哪些疑点需要再厘清？

（三）结合GGB软件，预习、的图像特征和函数性质，分类归纳之。作为小组研讨的材料。

四、教学效果与反思

1.本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到幂函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2.教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以有效化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用G-G-B可以动态地演示出幂函数的指数的动态过程，让学生直观观察指数对幂函数单调性的影响。

3.本节课从课前、课中、课后三个阶段，设计教学探究活动。使得课堂教学有备而来，思考充分，课后延伸，又为下一节课做好铺垫，起到承前启后的延续效果，有利于学生形成严谨的逻辑规律和思维习惯，对学习方法和习惯的养成也有较好的作用。

4.不足之处，题量与课堂运作效率的匹配还可以再做进一步优化。增加学生运用性质解题和交流时间，以便于将学习中的疑点、难点彻底消化与无形。下次会按照这样的思路来开展教学，提高应用效果。

参考文献：

[1]黄亮.基于智慧教育背景下高中数学探究式教学策略——以“幂函数的图像及其性质”教学为例[J].数学教学通讯，2021（6）：2.

[2]张欢欢.《幂函数》的教学设计与反思[J].考试周刊，2014（42）：3.

[3]舒美玉.自主优效教学案例与反思——幂函数[J].中学数学教学参考，2015（4X）：2.