基于广义柔度曲率矩阵对角指标梁桥结构损伤识别研究

李杰，庞栋元，张军锋，杜国鹏

(郑州大学 土木工程学院，河南 郑州 450001)

结构损伤识别技术最早出现并广泛应用在机械、航空航天等领域，在土木工程领域，结构损伤识别研究还多属于基础探索和早期应用阶段。这主要是因为土木工程结构，特别是桥梁结构是由多种材料、不同构件组成的大型综合系统，再考虑到结构施工过程不确定性和运营服役环境复杂性，导致目前桥梁结构损伤识别有许多困难需要克服。经过多年研究、发展和实践，针对桥梁结构损伤识别技术国内外学者提出了许多方法。一些学者基于结构应变[1]、位移[2-3]、支反力[4-5]等静力参数变化，提出了基于静力响应的损伤识别方法；由于结构动力特性变化比静力参数包含更多结构状态信息，所以多数研究基于信号类和模态类数据开展动力损伤识别，如基于固有频率和置信准则的损伤识别[6]，利用谐响应曲线[7]及稀疏正则化[8]进行悬臂梁损伤识别；一些学者对直接或间接利用实测振型损伤识别方法开展探讨和应用研究[9-11]；PANDEY 等[12]最早提出曲率模态对损伤高度敏感，一些研究还讨论了曲率模态在局部损伤识别中的应用[13-15]；此外还有学者研究基于模态柔度[16-18]、模态应变能[19]以及频响函数[20]的结构损伤识别方法[21-22]。从现有研究来看，大多数基于动力特性的损伤识别方法都需要精心设计试验条件，忽略了实际损伤的未知性和随机性；在损伤定位和损伤量化方面，基于梁单元线刚度理论的损伤识别方法能识别出单元位置和单元线刚度损伤程度，但需要较多模态数据，在工程实际应用中具有很大局限性。在动力特性的损伤识别方法中，曲率类损伤指标具有敏感性高、适用性好等优点[23]，本文基于广义柔度曲率矩阵，取损伤前后广义柔度曲率矩阵列对角元素，以及对广义柔度曲率矩阵列元素分别求1—范数和2—范数，构造3个新的损伤指标，通过简支梁算例对比这些指标，进一步通过2种不同截面简支梁损伤模拟，分析广义柔度曲率矩阵对角指标的敏感性和适用性，最后结合某连续刚构桥检测资料及该桥基准模型，对本文提出的指标进行梁桥结构损伤识别数值模拟和验证分析。

1 基于广义柔度矩阵损伤识别指标构建

结构损伤导致动力特性发生变化，通过动力测试可以获得包含结构状态信息的模态参数，很多学者基于模态参数变化提出了损伤定位和损伤程度识别方法。在这些方法中，基于柔度矩阵进行损伤识别最受关注，其优点是可以利用有限阶次模态数据获得对损伤非常敏感的柔度矩阵。

1.1 基于广义柔度矩阵损伤指标

1.1.1 广义柔度矩阵基本原理

多自由度无阻尼体系自由振动特征方程如式(1)。

式中：K为刚度矩阵；M为刚度矩阵；ω为模态频率；φ为模态振型向量。对于任意i和k2 阶模态，由式(1)可得式(2)及式(3)。

因此，可得结构模态质量矩阵和模态刚度矩阵分别由式(5)和式(6)表示。

式中：[m]和[k]表示由元素组成的对角矩阵。式(6)两边求逆，并由式(4)可得式(7)。

在式(7)两边同时左乘Φ及右乘ΦT，可得到结构模态柔度矩阵表达式(8)。

在结构的损伤模态满足关于质量矩阵归一化条件下，即ΦTMΦ=I时：

文献[24]提出广义柔度矩阵表达式(10)。

式中：Φ表示结构振型矩阵；Λ表示频率平方构成的对角矩阵，l=1,2,3…。从公式(10)可以看出，l越大，高阶模态对广义柔度贡献越小，则利用低阶模态估计广义柔度矩阵精度得到大大提高。当l=0 时，F0即前文普通柔度矩阵；当l=1 时，即一阶广义模态柔度，如式(11)。

随着广义柔度次数增高，高阶模态对广义柔度影响就越来越小，也即通过低阶模态数据，所计算高次广义柔度计算值与精确值之间误差会越来越小[23]，研究也表明1 阶广义柔度仅利用前2 阶振型和频率就可以获得较高模态柔度精度[24]。

1.1.2 构建损伤新指标

本文采用前2 阶竖向振型模态计算1 阶广义模态柔度，用表示广义柔度矩阵，F表示普通柔度矩阵，振型满足质量归一化条件时有式(12)。

结构发生损伤时，根据损伤前后广义柔度矩阵变化可以判断损伤位置。对广义柔度矩阵元素，按行列两次差分得到广义柔度矩阵曲率，记为。分别取损伤前后对角线元素，构建损伤识别指标(记为GFCCD)，见式(13)。

1.1.3 估算单元损伤程度

根据文献[14]类推可知，中心差分法求得广义柔度曲率指标理论上也是节点损伤程度的反映。因此，可以根据节点损伤程度和单元损伤程度关系，计算单元损伤程度。分别以和代替损伤前后曲率，得节点损伤程度DIn估算公式(17)。

基于振型曲率与刚度的关系，得单元损伤程度DIe和节点损伤程度DIn关系(限于篇幅，详细推导可参见文献[17])，采用数值模拟拟合得到上述3个指标节点损伤程度和单元损伤程度关系式。考虑到GFCCN1 和GFCCN2 的单元损伤程度计算参数相近，取统一近似计算关系式。GFCCD，GF‐CCN1和GFCCN2分别见式(18)和式(19)。

GFCCN1 和GFCCN2 在计算DIn和DIe时，每一种工况计算结果会出现不同基准值，本文默认减去基准值，即取差值Δ作损伤指标实际值。

由函数DIe=f(DIn)可得到单元损伤程度，但这些值是各节点值，不同情况下单元两端支点节点值可能不等，需要按照以下条件判断并估算单元损伤程度：首先从损伤定位指标结果初步判断损伤单元，计算得到所有节点对应DIe，对任一可能损伤单元m的单元损伤程度记为DIm，单元两端节点对应损伤指标值为DIL，DIR；当DIL=DIR＞0，且损伤定位指标显示该单元发生损伤，则DIm=(DIL+DIR)/2；当首尾单元发生损伤时，单元损伤程DIm=DIL或DIR；当DIL≤0，DIR＞0，或者DIL＞0，DIR≤0，且单元m不是首尾单元，不考虑其他因素，则可判断DIm=0；当DIL=和DIR≤0 时，DIm=0，可判断该单元未损伤。

1.2 广义柔度指标数值模型验证及对比

算例为计算跨径长10 m 简支梁，高h=0.4 m，宽0.3 m，E=3.25×1010N/m2，密度2 549 kg/m3，采用ANSYS 二维梁单元建模，将梁划分为20 个单元、21个节点，见图1。对损伤设定单元折减弹性模量以模拟其损伤，损伤工况设计如表1。

图1 简支梁算例模型Fig.1 Example model of simply supported beam

表1 损伤工况设计Table 1 Damage condition design

1.2.1 损伤定位

损伤指标GFCCD，GFCCN1 和GFCCN2 对简支梁单损伤和多损伤工况识别结果见图2～4。

图2 GFCCD损伤识别(分别为单、多损伤工况，下同)Fig.2 GFCCD damage identification(single damage condition and multiple damage condition，the same below)

对比单损伤工况可知，3 个指标均能准确识别出损伤位置，并且指标值可以反映损伤程度；对比多损伤工况可知，当单元10损伤程度从5%增加到15%时，单元5(对应节点号5～6)损伤指标不受影响，即损伤相互独立，互不影响。节点1 和21由于差分求曲率和变化率为0 不能作分母没结果(默认值为0)，但是不影响两端单元损伤判别。由上述对比可得出，在不考虑噪声条件下，指标GF‐CCD，GFCCN1，GFCCN2均能准确定位简支梁单损伤和多损伤；GFCCD 指标在未损伤区域为0，比另外2个指标效果更好。

1.2.2 损伤定量

根据式(18)和式(19)分析3 个指标损伤定量，限于篇幅，仅给出表1 工况2，5 损伤程度识别，见图5，其余工况结果类似。

由图5 对比可知，在损伤定量方面，3 个指标都能识别出损伤程度，且对单损伤识别更准确，对多损伤程度识别效果差别不大。对于跨中单损伤工况，识别量与真实量有一定误差；对于多损伤工况，跨中单元10 损伤10%时，3 个指标识别单元10 不受单元5 和单元19 损伤程度影响，损伤程度识别相互独立，且与GFCCD 损伤程度识别相比，GFCCN1和GFCCN2偏小。

图5 工况2，5损伤程度识别Fig.5 Damage degree identification of condition 2 and 5

图3 GFCCN1损伤识别Fig.3 GFCCN1 damage identification

图4 GFCCN2损伤识别Fig.4 GFCCN2 damage identification

2 指标GFCCD 敏感性及测点间部分损伤和归一化方法对其影响分析

上述分析表明，对于本文构建的3 个损伤指标，GFCCD 在损伤定位和定量识别效果最好，为了更全面说明其损伤表征能力，下面讨论其损伤敏感性。

2.1 等截面简支梁损伤敏感性

图6 为GFCCD 对图1 等截面简支梁20 个损伤工况(单元1～20 依次分别损伤10%)的损伤定位和定量识别。

图6 1阶GFCCD损伤定位及损伤定量Fig.6 Damage location and quantification of 1st GFCCD

由图6 知，仅使用1 阶模态振型和频率，GF‐CCD 对损伤位置敏感，且对简支梁跨中最敏感，除了两端单元外，其他单元的损伤敏感性基本相同，且单元损伤程度的识别结果非常接近真实损伤程度。图7还对比了不同阶模态振型和频率数据的损伤识别敏感性。由图7 可知，模态数对GF‐CCD 损伤定位和定量敏感性影响很小，且在模态阶次较少情况下，GFCCD 有很好且稳定的识别效果。

图7 GFCCD损伤定位及损伤定量敏感性Fig.7 Damage location and quantitative sensitivity of GFCCD

2.2 变截面简支梁损伤敏感性

图1算例改为鱼腹梁，其他条件不变。依次将各单元刚度折减10%，提取21 个节点前5 阶模态数据分别分析，敏感性对比见图8。

图8 损伤敏感性对比Fig.8 Comparison of damage sensitivity

由图8 知，仅使用1 阶模态数据就可以损伤定位；考虑广义柔度收敛性，仅使用2阶就可以达到5 阶识别效果；由于刚度分布影响，GFCCD 对截面刚度小的位置最敏感。在损伤定量方面，当模态阶数不小于2阶时，损伤程度识别敏感性几乎相同，且接近真实损伤程度。

2.3 测点间部分损伤影响分析

当测点区间由不同刚度几部分组成(测点间局部损伤，见图9)，损伤后等效线刚度见式(20)。

图9 测点等效线刚度模型Fig.9 Equivalent line stiffness model of measuring point

假设测点长度δl与实际损伤区间长度ld之比为η，损伤区间的损伤程度为式(21)，则等效损伤程度(x)见式(22)。当η=1 时，即测点区间单元全部损伤，Dn(x)=Di(x)，其中(x)，Di(x)分别代表测点区间平均损伤程度和损伤单元i实际损伤程度。

对于图1 算例，0.1 m 划分1 个单元，0.5 m 提取一个测点振型，共100 个单元21 个振型点。假设测点10～11 为图10 所示4 个损伤工况。图11 为GFCCD对4个测点间部分损伤工况识别的局部。

图10 损伤单元位置分布Fig.10 Location distribution of damage elements

由图11 可知，GFCCD 能识别测点间部分损伤。当损伤区间相对测点对称，包含损伤单元相邻两测点能直接反映损伤位置，且损伤识别值接近；当损伤在测点内不对称，靠近损伤区间的测点值偏大。

图11 测点区间部分损伤识别Fig.11 Identification of partial damage in measuring point interval

2.4 振型归一化方法影响分析

常见归一化方法有质量矩阵模态归一化、单位矩阵模态归一化和最大绝对值模态归一化。图12为这些方法对GFCCD损伤定位和定量的影响。

由图12 知，对于不同归一化，GFCCD 都能给出损伤位置，且归一化对损伤定位影响很小；质量归一化对损伤程度识别有影响，而单位矩阵归一化优于最大值归一化，其损伤程度识别更接近质量归一化。

图12 振型归一化方法对损伤定位和定量影响Fig.12 Influence of mode normalization method on damage location and quantification

3 基于GFCCD 指标某三跨连续刚构桥损伤识别验证

该桥跨径(80+150+80) m，按照设计图建立数值模型与当前结构存在误差，可基于动载实测资料[25]，采用参数型修正法进行结构灵敏度分析，并得到基准模型，然后利用修正后模型对该桥进行损伤识别。限于篇幅，以下仅给出GFCCD 指标损伤识别验证分析。

考虑桥梁对称性，仅对半跨(0～160 m)所有单元(单元号1～16)依次设置损伤10%，单元划分见图13。

图13 单元划分及振型测点示意Fig.13 Eelement division and vibration mode measuring points

3.1 单损伤识别

单损伤识别及单元损伤程度识别见图14 和图15。

由图14 知，单元1～5 单损伤可准确定位；墩附近单元6～12 在损伤位置和未损伤位置都有峰值，不能准确定位损伤，单元13～16 损伤均能够准确定位。由图15可知，虽然GFCCD不能识别出墩梁处单元8 损伤，但损伤程度DIe可以显示出该单元发生损伤，还放大了损伤位置信息，因此可以判别出漏判的损伤位置，在实践应用中可以结合两者共同判断损伤。

图14 单元损伤10%对应的GFCCD指标Fig.4 GFCCD index corresponding to 10%damage of element

图15 单元1～16损伤程度识别Fig.15 Damage degree identification of element 1～16

3.2 多损伤识别

多损伤工况考虑：工况1 为单元1 和单元4 同时损伤10%；工况2 为单元4 和单元13 同时损伤10%。损伤识别见图16。

由图16 可知，GFCCD 指标能准确识别出同跨多损伤和不同跨多损伤，识别效果较好；单元损伤程度工况1(9.9%和10.15%)和工况2(10.1%和10%)与真实损伤程度接近。

图16 工况1，2的损伤定位与损伤定量Fig.16 Damage location and quantification of case 1 and 2

4 结论

1) 广义柔度曲率矩阵对角元素指标GFCCD，广义柔度曲率矩阵列1—范数指标GFCCN1 和2—范数指标GFCCN2 均能准确识别梁桥单损伤和多损伤，综合比较GFCCD识别效果最好。

2)模态数对GFCCD 损伤定位和定量敏感性影响很小，且在模态阶次较少情况下，GFCCD 有很好且稳定的识别效果。

3)对于变截面梁，仅使用1 阶模态数据，GF‐CCD 就可以损伤定位，且2 阶就可以达到5 阶识别效果；在损伤定量方面，当模态阶数不小于2 阶时，损伤程度识别敏感性几乎相同，且接近真实损伤程度。

4)GFCCD 能识别测点间部分损伤，归一方法对GFCCD 损伤程度识别有轻微影响；在实践应用中，为了避免漏判，可结合GFCCD 指标和损伤程度DIe共同进行损伤识别。